Hamilton ' s Princip

Noterne fra uge 1 i John Baezs kursus i Lagrangian mekanik giver et indblik i motivationen til handlingsprincipper.

Ideen er, at mindste handling kan betragtes som en udvidelse af princippet om virtuelt arbejde. Når et objekt er i ligevægt, tager det nul arbejde at foretage en vilkårlig lille forskydning på det, dvs. e. prikproduktet af en hvilken som helst lille forskydningsvektor, og kraften er nul (i dette tilfælde fordi selve kraften er nul).

Når et objekt accelererer, hvis vi tilføjer en “inertial kraft” lig med $ \, – ma \, $ , så vil en lille, vilkårlig, tidsafhængig forskydning fra objekternes sande bane igen have nul prikprodukt med $ \, F-ma, \, $ den ægte kraft og inerti-kraft tilføjet. Dette giver

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

Fra der fører et par beregninger, der findes i noterne, til den stationære handlingsintegral.

Baez diskuterer D “Alembert mere end Hamilton, men uanset hvad er det et interessant kig på idéens oprindelse.

Kommentarer

• Bemærk, at princippet om virtuelt arbejde hedder D ‘ Alembert-princip: da.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Som du kan se på billedet nedenfor, vil du have, at variationen af handlingsintegralen skal være et minimum, derfor skal $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ være $ 0 $. Ellers tager du ikke den sande sti mellem $ q_ {t_ {1}} $ og $ q_ {t_ {2}} $, men en lidt længere sti. Selv når du følger $ \ delta S = 0 $, kan du dog ende med en anden ekstrem.

Ved at følge linket fra jc kan du finde Om en generel metode til dynamik , som sandsynligvis besvarer dit spørgsmål angående Hamiltons ræsonnement. Jeg har ikke læst det men næsten sikkert er det umagen værd.

Kommentarer

• Dette virker som et tautologisk svar, da det netop er Hamilton ‘ s princip, der i første omgang bruges til at komme til ovenstående billede.
• Måske blev du undervist i Hamilton ‘ s princip og nåede frem til det billede som en forklaring, men billedet er helt generelt. Den beskriver variationen af en funktion med faste slutpunkter.

Jeg fortæller generelt historien om, at handlingsprincippet er en anden måde at komme i de samme differentialligninger – så på mekanisk niveau er de to ækvivalente. Men når det kommer til kvantefeltteori, er beskrivelsen i form af stienintegraler over den eksponentierede handling vigtig, når man overvejer instanton-effekter. Så til sidst finder man, at formuleringen med hensyn til handlinger er mere grundlæggende og mere fysisk sund.

Men stadig har folk ikke en “følelse” for handling, som de har en fornemmelse for energi.

Lad os huske, at bevægelsesligningerne med initial betingelser $ q (0), (dq / dt) (0) $ blev avanceret først, og det mindste handlingsprincip blev formuleret senere som en sekvens. Selvom det var smukt og elegant matematisk, mindste handlingsprincip bruger en fremtidig “grænse” -betingelse $ q (t_2) $, som er ukendt fysisk. Der er ikke mindst handlingsprincip, der kun fungerer med de oprindelige betingelser.

Desuden antydes det, at ligninger har fysiske løsninger. Dette er tilfældet i den klassiske mekanik, men er forkert i den klassiske elektrodynamik. Så selv afledt af formelt korrekt “princip”, kan ligningerne være forkerte på fysisk og matematisk niveau. I dette respekt, formulering af de rigtige fysiske ligninger er en mere grundlæggende opgave for fysikere end at stole på et eller andet “princip” om at opnå ligninger “automatisk”. Det er vi fysikere, der er ansvarlige for korrekt formulering af ligninger.

I CED, QED og QFT skal man “reparere på farten” de forkerte løsninger, bare fordi fysikken blev gættet og oprindeligt implementeret forkert.

PS Jeg vil gerne vise, hvordan systemet i virkeligheden “vælger” sin bane: hvis partiklen ved $ t = 0 $ har et momentum $ p (t) $, så næste gang $ t + dt $ har det momentum $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Denne tilvækst er ret lokal med tiden, den bestemmes af den nuværende kraftværdi $ F (t) $, så ingen fremtidig “grænse” -tilstand kan bestemme den. Banen er ikke “valgt” blandt virtuelle baner; det “tegnes” af de øjeblikkelige værdier af kraft, koordinat og hastighed.

Kommentarer

• Jeg kan godt lide at tro, at begge muligheder kun er matematiske modeller og så ingen er mere ægte. Hverken systemet vælger sin bane eller fremtiden bestemmer den mindste handlingsvej. Ikke-lokaliseringen af QM fører til lignende tvivl.
• Forbløffende er der nu et mindste handlingsprincip, der kun fungerer under de indledende betingelser! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Her er en gratis arXiv-version . Uden at læse artiklen i detaljer lugter den som en klassisk Keldysh formalisme , jf. dette og dette Phys.SE-indlæg.

I stedet for at specificere den oprindelige position og momentum ligesom vi har gjort i Newtons formalisme, lad os omformulere vores spørgsmål som følger:

Hvis vi vælger at specificere de indledende og endelige positioner: $ \ textbf {Hvilken vej tager partiklen?} $

Lad” s hævder, at vi kan genvinde Newtons formalisme ved hjælp af følgende formalisme, såkaldt Lagrangian formalisme eller Hamilton-princip.

Til hver vej, der er illstrated på ovenstående figur, tildeler vi et tal, som vi kalder handlingen p>

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

hvor denne integrand er forskellen mellem den kinetiske energi og den potentielle energi.

$ \ textbf {Hamiltons princip hævder} $: Den sande vej, som partiklen tager, er en ekstrem af S.

$ \ textbf {Bevis:} $

1. Skift stien en smule:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Hold slutpunkterne for den faste sti :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Tag variationen af handlingen $ S $:

endelig får du

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Den betingelse, at den sti, vi startede med, er en ekstrem del af handlingen er

$$ \ delta S = 0 $$

som skal holdes ved alle ændringer $ \ delta \ vec {r} (t) $, som vi foretager på stien. Den eneste måde dette kan ske på er, hvis udtrykket i $ [\ cdots] $ er nul.Dette betyder

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Nu genkender vi dette som $ \ textbf {Newtons ligninger} $. At kræve, at handlingen er ekstremiseret, svarer til at kræve, at stien overholder Newtons ligninger.

For flere detaljer kan du læse denne pdf-forelæsning.

Håber det hjælper.

Kommentarer

• Hvis vi ser en partikel begrænset til at bevæge sig på en sfære, kommer vi til stier en er et maksimum eller et minimum. Jeg føler, at en partikel følger den mindste handlings sti, men den matematiske ligning δS = 0 giver os et tvetydigt svar, men en bestemt del af dette svar indeholder en sti med den mindste handling i den. Du kan se Arfken og Weber.