I Heisenberg-billedet (ved hjælp af naturlige dimensioner): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Hvis Hamilton er uafhængig af tid, kan vi tage en delvis afledt af begge sider med hensyn til tid: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Derfor $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ men dette svarer ikke til, hvad mange lærebøger angiver som Heisenberg-ligningens bevægelse. I stedet angiver de, at $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Hvorfor er dette generelt sandt og ikke den tidligere erklæring? Bliver jeg bare pedant med min brug af delvise og totalderivater?
Kommentarer
- Hvorfor anvendte du delvis derivater? I Heisenberg-formalismen er statskettene faste i tiden, og operatørerne varierer i tid. Så du kan tage operatørens samlede afledte tid på LHS.
- Undskyld, jeg kan ' ikke forstå din logik der. Her får $ O_s $ lov til at variere med tiden, og det samme gør $ O_H $, men det er meget klart, at der på LHS er en total tid derivat på $ O_H $, og der er en delvis tid derivat , der vises på RHS. Hvorfor er ikke ' de begge delvise derivater i tide?
- @ I.E.P. I ligning (2), På venstre side, hvorfor er ' ikke det $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, På venstre side skal du bruge $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, og det samlede derivat kan udtrykkes som summen af partielle derivater.
- @IEP Jeg tror her, hvad du mangler er den matematiske forskel på totalderivat og delvis derivat. Til venstre $ O_H $ som funktion af $ t $, dermed det samlede afledte til højre $ O_H $ som en sammensat funktion via forholdet (1), deraf den delvise afledte for hver komponentfunktion.
Svar
Med nogle definitioner for at gøre tidsafhængigheder eksplicitte, kan din ligning (4) gøres fornuftig. Lad os tage følgende:
Lad $ O_s $ være en operator afhængigt af tid og andre parametre $ O_s: \ mathbb {R} \ gange S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, hvor $ S $ er rummet for de andre parametre, og $ \ mathrm {Op} $ er pladsen for operatorer på Hilbert-rummet. Lad $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ betegner tidsudvikling af operatorer i Heisenberg-billedet givet af $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Bemærk, at $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ og $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (fordi $ \ phi $ er lineær i $ O $). Nu givet en parameter $ p \ i S $ vi kan definere tidens funktion: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ med $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Vores funktion $ O_H $ er en en parameter en, så det giver kun mening at tage dens samlede afledte: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ højre] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
hvor jeg i det første trin har anvendt kædereglen og i de andre de lighed, vi allerede havde.
Svar
Nej, du er ikke “bare” pedantisk med dit misbrug af delvise derivater: dine Eqns (2) og (3) er flade forkert. Du anvendte simpelthen ikke definitionerne rigtigt, som @WeinEld har påpeget. (Du har måske skånet dig selv sorg, hvis du illustrerede dit spørgsmål til et simpelt system, såsom SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ så for $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ hvor $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ og ligeledes for p .
Tidsderivatet af $ O_H $ består af den delvise afledte wrt t efter semikolon plus konvektive afledte på grund af strømmen af x og p i Heisenberg-billedet, $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Bevis dette! Medmindre du gjorde det, er diskussionen helt damp.)
Delafledningen er $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right) _H. $$ (Nogle udtrykker dette som $ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $, idet man stoler på, at læseren korrekt vil forstå den tydelige differentiering af kun argumentet efter semikolonet, men netop dette spørgsmål kan gøre dem til tænk to gange . Nu, for at være sikker, da $ O_S $ har forsvindende konvektiv derivat, $ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $, som rejst i en kommentar, så dette er et ikke-spørgsmål.)
Under alle omstændigheder sætter de to stykker sammen det konventionelle $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Overvåg den tydelige opførsel af en simpel observerbar som $ O_S = tx $ i SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, den berømte stive klassisk-lignende rotation i faseplads, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; således $ O_H = tx (t) $. Derfor $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: værdsætter nu effektiviteten og forskellene i de respektive billeder. (Såsom $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ med fysikerne “sædvanlig undgåelse af matematikeren” s annonce kortnotation.)
Du finder muligvis dine lejer ved tænker på S-billedet som den Eulerianske ramme, og H-billedet som den Lagrangiske, comoving ramme.