Jeg har problemer med Ho-Lee-modellen til korte satser og skelner mellem, hvordan man finder værdierne for den gratis parameter λ versus brug af model til at forudsige fremtidige priser.
Ho-Lee-modellen for hvert trin i et binomialtræ: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Jeg har læst det for at indstille den gratis parameter ved hvert trin i et rekombinerende binomialtræ, indstiller du hastigheden ved tilstand 0 til den aktuelle spotfrekvens (dvs.: 1 måneders spotrate) og finder en værdi for lambda, som når den tilsluttes modellen vil resultere i nuværende spotrate for det næste tidstrin (fx: startende med 1 måneders spotrate ved tilstand 0 og brug af et 1 måneders tidstrin, vil den korrekte værdi for lambda, når den tilsluttes til modellen, producere den aktuelle 2 måneders spotrate osv.).
Dette forvirrer mig. Når jeg først har bestemt værdien af lambda for hvert trin i mit træ, hvilke input skifter jeg for at bruge modellen med min kasse omialtræ for at forudsige futuresrater .. dvs.: en måneds rente på en måned, om to måneder osv.?
Hvis min beskrivelse ikke er klar, er der en undtagelse fra Bruce Tuckmans bog om emne.
… find λ1 sådan, at modellen producerer en to-måneders spotrate, der svarer til den på markedet. Find derefter λ2 sådan, at modellen producerer en tre måneders spotrate, der svarer til den på markedet. Fortsæt på denne måde, indtil træet slutter.
Svar
Du ved at Ho-Lee-modellen er repræsenteret af de stokastiske differentialligninger \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} For at implementere vores binomialtræ bruger vi Euler-diskretiseringen. \ start {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} hvor $ Z $ er en standard normal tilfældig variabel. Lad $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ og udvid ligningen i diskret tid \ begynder {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Denne relation viser, at den korte sats er summen af et sæt ikke-stokastiske driftstermer og et sæt tilfældige udtryk .No-arbitrage nulkuponobligationsprisen $ P (t, t + \ Delta t) $ angives således som
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} For eksempel beregning af obligationskursen på tidspunktet $ n = 2 $, giver os: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} med andre ord \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ højre) \ end {align} I dette tilfælde $ r_t $ har en normalfordeling, således \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} But \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Det kan omskrives som: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} derefter \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Denne relaton giver de nødvendige rekursive relationer til at udvikle Ho-Lee ingen arbitragemodel med korte rater. Vi tager et sæt obligationspriser og struktur af volatiliteter som input til de korte renter. Derfor får vi den evolutionære ligning til at skildre modelens binomiale træ.
Kommentarer
- Tak for dit svar, selvom det ' er over mit niveau af forståelse. Kort sagt, jeg forstår pointen med modellen er at modellere fremtidige priser. Jeg ' har læst, at vi indstiller de gratis parametre ved hvert trin i træet, således at modellen spytter aktuelle spotrater. Hvis det er sådan, vi ved, at modellen er kalibreret, hvilke input vil jeg ændre, så jeg kan bruge den til at modellere fremtidige priser?