Hvad betyder det eksponentielle udtryk i Fourier-transformationen?

Det er en kompleks eksponentiel, der roterer for evigt på den komplekse plane enheds cirkel:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Du kan tænke på Fourier-transformation som beregning sammenhæng mellem $ f (t) $ og en kompleks eksponentiel for hver frekvens, der sammenligner hvor ens de er. Komplekse eksponentielle sådan har den fine kvalitet, at de kan være tids- forskudt ved at multiplicere dem med et komplekst antal enheds magni tude (en konstant kompleks eksponentiel). Hvis Fourier-transformationsresultatet ved en bestemt frekvens er et ikke-reelt komplekst tal, kan den komplekse eksponentielle for denne frekvens ganges med det komplekse tal for at få det forskudt i tid, så korrelationen til $ f (t) $ maksimeres.

Hvis du ikke kan lide at tænke på imaginære tal, komplekse tal og funktioner, kan du alternativt tænke på den komplekse eksponentielle i FT som bare stenografi til at mase sammen både en sinusbølge og en cosinusbølge (af samme frekvens) til en enkelt funktion, der kræver mindre kridt på tavlen til skriv.

Uanset om det er Fourier Transform eller Laplace Transform eller Z Transform osv., er den eksponentielle egenfunktion af Lineære og tidsinvariante (LTI) operatorer . hvis en eksponentiel funktion af “tid” går ind i en LTI, kommer en eksponentiel ligesom den (men skaleret af egenværdien) ud. hvad F.T. gør er at nedbryde en generel funktion i en sum af disse eksponentialer. der kan ses ved at se på invers Fourier Transform.

The Fourier Transform:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

konverterer en funktion til en integral af harmoniske funktioner. Du kan tænke på disse som synder og cosinus, fordi $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Fourier-transformationen som en kontinuerlig form af Fourier-serien, der omdanner ethvert periodisk signal til en sum af andre reelle periodiske (harmoniske) signaler:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

I Fourier Transform kan du tænke på koefficienterne $ a_n $ og $ b_n $ går over værdierne for en kontinuerlig funktion. For at tage sammenligningen videre er der en kompleks version af serien:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Kommentarer

• Prøv at holde dig til en uafhængig variabel, enten $ t $ eller $ x $, men ikke begge. Desuden skal du prøve at finde et bedre ord end ‘ lytte ‘, hvilket ikke ‘ t giver mening her.
• Du savner også $ \ omega $ i argumenterne for sinusoiderne og den eksponentielle funktion: $ \ cos (n \ omega t) $ osv.
• @MattL. Har jeg brug for $ \ omega $? Fourier Transform har $ e ^ {i \ omega t} $, men i serien indtager ” $ n $ ” af $ \ omega $. Er ‘ t det rigtige?
• Nej, $ \ omega = 2 \ pi / T $, hvor $ T $ er perioden $ f (t) $, dvs. medmindre $ T = 2 \ pi $ har du brug for $ \ omega $.
• Ok. Jeg kan se, hvad du mener.

Overvej sagen $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Derefter

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

When $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , begge integrander svinger omkring nul, og integralerne er faktisk nul.De eneste resultater, der ikke er nul, er

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ grænser _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ grænser _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

som ofte udtrykkes som $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ stor (\ omega – (- \ omega_0) \ stor) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Med ord for en given værdi af argumentet $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ faktor oversætter komponenten af $ f (t) $ ved denne frekvens til $ 0 $ og alle andre komponenter væk fra nul. Derefter producerer den uendelige integral et mål for komponentens styrke ved $ 0 $ .

Bemærk at hvis $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , derefter $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Hvad dette faktisk betyder er, at tegnet på $ \ omega_0 $ entydigt kan udledes af funktionen $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Det kan ikke udledes fra $ \ cos (\ omega_0 t) $ , fordi det er trigonometrisk identisk med $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Fourier-transformen håndterer denne tvetydighed ved at give ikke-nul svar på både $ \ omega = \ omega_0 $ og $ \ omega = – \ omega_0 $ . Det betyder ikke, at $ \ cos (\ omega_0 t) $ indeholder begge frekvenser, fordi $ \ omega_0 $ kan kun have en værdi. Den korrekte fortolkning er, at $ e ^ {i \ omega_0 t} $ indeholder flere oplysninger, ikke mindre end $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Formlen $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ ligner flere oplysninger, men det er faktisk en annullering af information.

Kommentarer

• ” Det betyder ikke $ cos (\ omega_0 t) $ indeholder begge frekvenser, fordi $ \ omega_0 $ kun kan have en værdi. ” Nej. cosinus er summen af to komplekse rene toner med modsatte frekvenser (to forskellige værdier). Hvad du kan ‘ ikke fortælle er tegnet på $ \ omega_0 $. Enten er en gyldig fortolkning svarende til plukning af en kvadratrod. Så ved konvention betragtes frekvenser for ægte værdsatte rene toner som positive.
• @Cedron – Overvej en funktion $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Og $ \ \ derfor \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Skal vi konkluderer, at $ x ^ 2 $ er noget mere end bare en funktion på den reelle talelinje? Det er i hemmelighed lavet af to komplekse funktioner? Hvis ja, hvilke to? … fordi jeg lige så godt kunne have defineret $ f (x) $ som $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Dette er ikke ‘ t om funktionsnedbrydning. Du kunne lige så let have sagt $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ for lige så specielt for et argument. Udtrykket ” indeholder begge frekvenser ” er i sammenhæng med FT (kontinuerlig i dette tilfælde). Hvis $ cos $ kun havde en frekvens, ville der kun være en ikke-nul værdi i spektret.
• Jeg tror ikke ‘ det er fornuftigt at argumentere for, hvordan mange frekvenser indeholder et generelt signal uden at være enige om, hvad der ” rimelig ” nedbrydning til periodiske funktioner menes. En frekvens er så bare et stenografisk udtryk for en periodisk komponent af en frekvens . En rimelig nedbrydning vil f.eks. Ikke omfatte komponenter, der fuldstændigt annullerer hinanden eller komponenter, der er identiske.
• @Olli – Tak for den redaktionelle hjælp til mine deltas. Jeg troede, at det ikke så ‘ ud, men jeg forstod ikke ‘ hvorfor.