Indtil videre definerede vi i vores forelæsning skabelsesoperatorer $ a ^ {\ dolk} _ {n} $ i på følgende måde, at vi sagde:
Nogen fik dig en antisymmetrisk eller symmetrisk N- partikelstatus og nu sætter $ a ^ {\ dolk} _ {n} $ en anden partikel i tilstand n, så vi slutter op med en symmetrisk / antisymmetrisk N + 1-partikel-tilstand. Denne fortolkning er på en eller anden måde tydelig for mig i den forstand, at disse $ a ^ {\ dolk}, a $ operatører undgår de besværlige skiferdeterminanter og så videre. På trods af har vi stadig at gøre med veldefinerede symmetriiserede / antisymmetriiserede produkttilstande, der bliver udvidet eller reduceret med en tilstand, som er skjult bag denne notation.
Nu definerede vi også feltoperatører i QM med $ \ psi ^ {\ dolk} (r) = \ sum_ {i; \ tekst {alle stater}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dolk}. $ Vi sagde, at de skaber en partikel i position $ r $ . På en eller anden måde er det ikke klart for mig, hvad dette betyder:
At skabe en partikel i en nøjagtig position $ r_0 $ i QM ville betyde, at vi nu har en yderligere tilstand $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ i vores skiferdeterminant. Jeg tvivler på, at dette er tanken bag dette. Men da $ a_i ^ {\ dagger} $ -operatørerne handler på $ N $ -partikelstatus og kortlægger til $ N + 1 $ partikeltilstande, skal det samme være tilfældet for $ \ psi ^ {\ dolk} (r) $ . Ikke desto mindre har jeg svært ved at fortolke resultatet.
Hvis noget er uklart, så lad mig det vide.
Svar
$ \ psi_i $ i din sum behøver ikke at være delta-funktioner. Du kan f.eks. Tænke, da de er energi egenfunktioner $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ og dermed skabe en partikel på $ r $ betyder, at du opnår en superposition af alle mulige måder en partikel kan være på $ r $ (i dette bestemte valg af basis): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dolk (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {complex numbers}} | i \ rangle $$ hvor $ | 0 \ rangle $ er vakuumtilstanden (eller grundtilstand hvis du vil) og $ | i \ rangle $ er Fock-tilstand med en partikel i n-th-tilstand. Du kan tænke på denne ligning som at angive for hver $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ er sandsynlighedsamplituden for at finde partiklen i positionen $ r $, hvis du ved, at den er i staten $ i $.
Kommentarer
- fortolkningen af at skabe en superposition af alle de mulige måder, en partikel kan komme til positionen $ r $ ser meningsfuld ud for mig. Jeg mener, hvad vi gør, er, hvis jeg forstod dig korrekt, at vi skaber en partikel i en hvilken som helst egenstat og ser efter sandsynlighedsamplituden for, at denne partikel er i position $ r $. Det jeg ikke ser ' er, hvordan denne forestilling er relateret til den faktiske oprettelse af en partikel i position $ r $. Hvis du tænker over det, så er det to forskellige ting. Kan du prøve at forklare, hvad vi vil modellere med denne feltoperatør?
- Det afhænger virkelig af sammenhængen. " partikel " fortolkning er ikke altid egnet, mere generelt kan du tænke på disse operatorer som skabende / tilintetgørende kvantetilstande. I forbindelse med QFT er disse tilstande faktisk (normalt) partikeltilstande og $ | 0 \ rangle $ staten uden partikler, og dermed terminologien. Men for eksempel i NRQM er dette ofte ikke sandt, og " vakuumtilstand " er i dette tilfælde bare systemets jordtilstand . De " opretter " / " ødelægger " stater i den forstand, at de sender et givet Fock-rum ind i et andet med en ekstra / mindre tilstand af den særlige art.
Svar
Tænk på det som en ændring af grundlaget. $ a_i ^ \ dolk $ skaber en partikel i staten $ | i \ rangle $. Denne tilstand $ | i \ rangle $ kan nu skrives i form af positionstilstandene $ | r \ rangle $ som $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ $ således er oprettelse af en partikel i denne tilstand ækvivalent med at skabe en partikel i en superposition af positionstilstand med den passende vægt $ \ psi_i (r) $. Tilsvarende kan en partikel lokaliseret i $ | r \ rangle $ beskrives som værende i en overlejring af tilstanden $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ og dermed skabe en partikel i staten $ | r \ rangle $ er operatøren $ \ psi ^ \ dolk (r) $ defineret af operatøren $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dolk $.
Kommentarer
- undskyld, men dette svar er meget forvirrende. du synes at summe over positioner. Bemærk, at denne position ikke er diskret! Således har jeg alvorlige problemer med at forstå dine $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: at ' s bare notationer (tænk på en diskretiseret version af rummet). Men jeg skiftede bare til integral, hvis det får dig til at føle dig bedre.