Enhedstrinsignalet defineret som
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
har tre mulige løsninger til sin Fourier-domænerepræsentation afhængigt af typen af tilgang. Disse er som følger –
- Den bredt fulgte tilgang (Oppenheim Textbook) – beregning af Fourier-transformation af enhedstrinsfunktionen fra Fourier-transformation af signum-funktionen.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourier Transform beregnet ud fra Z-transformationen af enhedens trinfunktion (Se Proakis-lærebog, Digital signalbehandlingsalgoritmer og applikationer , side 267.268, afsnit 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fouriertransform beregnet ved at opdele i lige og ulige funktioner – efterfulgt i Proakis Textbook (Se Proakis Textbook, Algoritmer og applikationer til digital signalbehandling , side 618 afsnit 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
Den anden repræsentation kan ignoreres, da den ikke er en velopdragen -funktion. Men de fremgangsmåder, der følges af Proakis og Oppenheim, er lige så gyldige (de udvider Fourier-transformeringen til at omfatte impulser i frekvensdomænet) Men forvirringen er, at de giver forskellige løsninger.
Er der nogen fejl i min forståelse? eller mangler jeg noget afgørende punkt ?? Hjælp mig venligst med at forstå dette og den rigtige form, der kan bruges i alle applikationer. (Jeg fandt ud af, at Oppenheim-metoden bruges til at udlede Kramers-Kronig-forholdet og Proakis-metoden, der blev brugt i afledningen af Hilbert-transformationen)
Svar
Bemærk, at det første udtryk er Fourier-transform af kontinuerlig enhedstrinnet $ u (t) $, så det er ikke relevant for den diskrete tidssekvens $ u [ Desuden er det andet og det tredje udtryk begge korrekte, og de er identiske, hvis du tager i betragtning, at det andet udtryk ikke hævder gyldighed ved heltalsmultipler på $ 2 \ pi $.
Hvis vi udelader vinkelfrekvenser ved multipler af $ 2 \ pi $, det tredje udtryk bliver
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
som er identisk med det andet udtryk.
Kommentarer
- Mange tak! Ja det andet og tredje er ækvivalente men i det tredje har de sammensætning ved at inkludere impulsen ved polerne. Tak for afklaringen
Svar
Som Matt sagde, er den anden og tredje definition den samme bortset fra delen med impuls. Impulsen ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) tegner sig for DC-værdien for $ u [n] $ . Uden dette udtryk (dvs. den anden definition) er det faktisk FT for $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Vi har $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Og derfor har FT for $ u [n] $ den yderligere betegnelse for at tage højde for tilføjelsen af $ \ frac {1 } {2} $ . Desuden er den diskrete tid FT (eller DTFT) for $ u [n] $ korrekt skrevet som $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
Den første definition, $ U (j \ omega) $ er “kontinuerlig tid “FT (eller CTFT) af $ u (t) $ (ikke $ u [n] $ ) og dermed forskellig fra de to andre definitioner.