Så vidt jeg forstår det, er tyngdekraftens bindende energi af en vis massefordeling det negative af dens tyngdekraftige selvpotentiale energi.
Jeg forsøgte at beregne sidstnævnte for en solid sfære med radius $ R $, masse $ M $ og ensartet tæthed.
Af shell-sætningen (eller Gausss gravitationslov) er feltstyrken i en afstand $ r $ fra midten af kuglen givet af
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
hvor $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ er massen indesluttet i en sfære med radius $ r $.
Gravitationspotentialen ved en afstand $ r $ oprettet ved denne distribution er således
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Den selvgravitationspotentialenergi er summen af gravitationspotentialenergierne $ U \ cdot dm $ over alle masseelementerne $ dm $ i fordelingen.
Lad os fortsætte med shellintegration. Massen indeholdt i skallen af den indre radius $ r $, den ydre radius $ r + dr $ er simpelthen
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Den selvpotentiale energi af kugle er således
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
hvilket er nøjagtigt halvdelen af det rigtige svar.
Jeg kontrollerede mit arbejde flere gange for enkle fejl, men jeg ser ikke ud til at finde kilden til faktoren $ 2 $ -fejl. Dette får mig til at tro, at der er noget fundamentalt forkert med den måde, jeg beregnede energien på.
Hvor er problemet?
Kommentarer
- I din MathJax du ' bruger \ big til store parenteser, hvilket ikke ' t fungerer. Brug matchende \ venstre og \ højre i stedet. \ Big er en fast størrelse, hvorimod \ left og \ right automatisk skaleres til den størrelse, der er nødvendig for det vedlagte indhold i parenteserne.
Svar
Problemet er den måde, hvorpå du former dine skaller — uanset om de kommer indefra eller uden for de tidligere skaller. For bindingsenergi betyder dette den mængde energi, som det tager at sekventielt fjerne hver efterfølgende skal til uendelig. Potentialet skal således beregnes med hensyn til uendelighed, ikke oprindelsen; dit udtryk for potentiale antyder, at hver skal starter ved oprindelsen og udvider sig gennem den eksisterende masse ud til en radius $ r $, snarere end at samle sig omkring en allerede eksisterende kerne udefra. Så beregn potentialet som
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Dette skal løse faktoren på to.
Terminologi til side, jeg tror, vi kan være enige om begrebet, hvad størrelsen er af energimidlerne, så positiv eller negativ har ikke en enorm indflydelse. For at få en fornemmelse for integralet ovenfor, lad os forestille os en enkelt partikel, der trækkes ind af gravitationen af den stadig formende kugle (med radius $ r $) snarere end en skal. Når partiklen kommer ind fra uendelig, vil potentialet, den vil føle, være det sædvanlige Newtonske tyngdepotentiale, indtil den rammer overfladen af bolden. Nu, hver lille smule masse $ dm $ af en skal, der tilføjes, vil også føle det samme potentiale; vi kan tænke på skallen som mange små partikler, der kommer ind fra alle retninger på samme tid. Hver gang vi tilføjer en skal på denne måde, $ r \ rightarrow r + dr $, så $ M_ {enc} $ stiger tilsvarende, hvilket vi tager højde for i integralet over $ r $. Dette er i modsætning til integralet med grænserne $ [0, R] $ i spørgsmålet, fordi en sådan integral er mere beslægtet med den mængde energi, det ville tage at “puste” masseskaller udad fra oprindelsen. En sådan proces ville kræve, at kuglen var fuldstændig permeabel, da skallerne pustede ud til overfladen, men hvis dette var tilfældet, ville hele kuglen straks kollapse på sig selv igen på grund af sin manglende stivhed.
Kommentarer
- Ok. Først ved jeg faktisk ikke ', hvilken tyngdebindende energi. Jeg ved kun hvad selvpotentiel energi er. Den selvpotentiale energi af et system med masse $ m_1, … m_N $ er summen af $ U_ {i, j} $ over alle par $ (i, j) $ med $ i < j $ hvor $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ er afstanden mellem masserne $ m_i $ og $ m_j $. Dette er hvad jeg forsøgte at beregne.
- For det andet giver din integral ikke ' ikke mening for mig. $ M_ {enc} (r) $ skal erstattes af $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh har ret: du tog den forkerte definition af den bindende energi. Se denne Wikipedia-artikel for den fulde beregning: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Faktisk er det, jeg beregnet, den selvgravitationspotentialenergi, som bare er negativet af bindende energi. Jeg beskrev selvpotentiel energi ovenfor, dvs. simpelthen energien i massefordelingen på grund af dens eget tyngdefelt.
- Jeg har tilføjet en afklaring i svaret, da den ikke ville ' t passer her i kommentarerne. Den væsentlige forskel i vores to størrelser er mængden af energi, der er involveret i at fjerne alle bitene af masse uendeligt langt væk fra hinanden vs. den mængde energi, der kræves for at holde bolden i at kollapse. Førstnævnte er tyngdekraftens bindende energi (på grund af selvpotentialet), og sidstnævnte er mere et mål for den minimale stivhed i den involverede sag.
Svar
Der er problemer med, hvordan du beregner potentiale, og med hvordan du beregner tyngdekraftsbindingsenergi.
Gravitationsfeltet inde i sfæren er radialt indad og af størrelse $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Gravitationsfeltet uden for sfæren er radialt indad og af størrelsen $ GM / r ^ 2 $.
Gravitationspotentialet er det arbejde, der udføres pr. Masseenhed, hvilket bringer massen fra uendelig til $ r $.
Potentialet i en radius $ r $ inde i sfæren er $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Imidlertid dette er ikke nødvendigt for at beregne en kugles bindingsenergi, da tyngdekraftsbindingsenergien er summen af de krævede energier til at fjerne masseskaller fra overfladen af en kugle til uendelig ( forestil dig at skrælle lag fra overfladen, indtil du når midten).
Potentialet ved overfladen af en kugle med masse $ M “$ er $ -GM” / R “$, hvor den konstante tæthed $ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Således $$ V (R “) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ og bindingsenergien er lig til $ V (R “) $ ganget med massen af en skal, $ dM = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR” $, integreret over masseskaller fra nul til stjernens slutradius.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$