Hvad er en AMDF?

Jeg har aldrig set ordet “Formula” med “AMDF”. Min forståelse af definitionen af AMDF er

$$ Q_x [k, n_0] \ driekantq \ frac {1} {N} \ sum \ grænser_ {n = 0} ^ {N-1} \ Stor | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ er det interessante område i $ x [n] $ . Bemærk, at du kun opsummerer ikke-negative udtryk. Så $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Vi kalder “ $ k $ ” “lag” . Klart hvis $ k = 0 $ , derefter $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Også hvis $ x [n] $ er periodisk med periode $ P $ (og lad os lade ud for det øjeblik, at $ P $ er et heltal) derefter $ Q_x [P, n_0] = 0 $ og $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ for ethvert heltal $ m $ .

Nu lige hvis $ x [n] $ ikke er nøjagtigt periodisk, eller hvis perioden ikke er nøjagtigt et heltal antal prøver (med den bestemte samplingsfrekvens, du bruger), forventer $ Q_x [k, n_0] \ ca. 0 $ for enhver forsinkelse $ k $ , der er tæt på til perioden eller et hvilket som helst heltal multiple af perioden. Faktisk, hvis $ x [n] $ er næsten periodisk, men perioden ikke er på et helt antal prøver, forventer vi at kunne interpolere $ Q_x [k, n_0] $ mellem heltalværdier på $ k $ for at få et endnu lavere minimum.

Min favorit er ikke AMDF men “ASDF” (gæt hvad “S” står for?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Det viser sig, at du kan udføre beregning med det, fordi kvadratfunktionen har kontinuerlige derivater, men den absolutte værdifunktion ikke.

Her er en anden grund, jeg kan lide ASDF bedre end AMDF. Hvis $ N $ er meget stort, og vi spiller lidt hurtigt og løst med summeringsgrænserne:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ højre) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

hvor

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

identificeres normalt som “autokorrelation” af $ x [n] $ .

Så vi forventer, at autokorrelationsfunktionen er en kopi (og offset) replika af ASDF. Uanset hvor autokorrelationstoppene er, er ASDF (og normalt også AMDF) et minimum.