Advarsel: Den første del af dette svar tager en meget teknisk holdning til BRST-proceduren og arbejder desuden med et endeligt dimensionelt faserum for nemheds skyld. Det kunne synes ret langt fra forståelsen af spøgelser i den gennemsnitlige anvendelse af BRST-transformationer eller spøgelser som et værktøj.

---

Den generelle opfattelse af spøgelser

Der er mange forskellige niveauer, hvor man kan diskutere udseendet af spøgelser, anti-spøgelser og deres antal i begrænset Hamilton-mekanik (hvilket er det samme som måleinstrumenter på et lagrangisk niveau). En af dem er delvist skitseret i dette svar fra mig , hvor BRST-operatøren er udstillet som forskellen i måleren Lie algebra cohomology.

Vi vil se på en lidt anden måde at se på spøgelser på, nemlig ved at ” udvide faseområdet “, i dette svar, selvom dette kan ses som en omformulering af Lie algebra-kohomologitilgangen i ” fasepladsudtryk “:

BRST-formalisme søger på et abstrakt niveau at implementere reduktionen til en begrænsningsflade $ \ Sigma $ i et faseområde $ X $ ikke ved at løse begrænsningerne $ G_a $ , men ved at søge i en passende forstørrelse af faseområdet, så funktionerne i det forstørrede fase rum har graderet afledning $ \ delta $ bor på dem, hvis ho mology beregner funktionerne på begrænsningsoverfladen, som er de målbare invariante observerbare. ¹

Det forstørrede faseområde opnås som følger:

1. En funktion på begrænsningsoverfladen $ \ Sigma $ gives af kvotienten for alle fasefacitetsfunktioner modulo de funktioner, der forsvinder på overfladen. Hver funktion $ f $ , der forsvinder på overfladen, gives af $$ f = f ^ a G_a $$ hvor $ f ^ a $ er vilkårlige faserumfunktioner. Hvis man introducerer så mange variabler $ P_a $ som der er begrænsninger, og definerer $ \ delta P_a = G_a $ samt $ \ delta z = 0 $ for enhver original fase pladsvariabel, derefter billedet af $ \ delta $ er nøjagtigt alle funktioner, der forsvinder på $ \ Sigma $ . For at $ \ delta $ skal klassificeres, skal $ P_a $ tages for at være af grad $ 1 $ . Graden af en funktion så simpelthen graden af den som et polynom i $ P_a $ kaldes anti- spøgelsesnummer . ²

2. $ P_a $ er ensomme, og de har brug for konjugerede variabler. Disse er givet af såkaldte longitudinale 1-former på begrænsningsoverfladen, hvor et langsgående vektorfelt på begrænsningsoverfladen er et, der er tangent til målerbanerne. Deres dualer er 1-former, som kun er defineret på langsgående vektorer. Det skal være geometrisk intuitivt (og det er faktisk sandt), at de langsgående vektorfelter er netop de felter, der genererer målertransformationer (de er igen bare endnu en inkarnation af måleren Lie algebra). Derfor er der så mange basale 1-former i længderetningen $ \ eta ^ a $ som der er begrænsninger, og da der er anti-spøgelser $ P_a $ .Da der er den naturlige handling $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ pr. Definition af det dobbelte, er det også naturligt bare at definere Poisson-beslaget på et forstørret faseområde med koordinater $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ af $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ så parene $ (\ eta ^ a, P_a) $ fungerer som yderligere par af kanoniske variabler. Afledningen udvides til $ \ eta $ simpelthen med $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Funktioner på dette forstørrede faseområde tildeles nu et rent spøgelsesnummer baseret på deres grad i $ \ eta $ .

Givet enhver funktion i det forstørrede faseområde, er spøgelse nummer er simpelthen det rene spøgelsesnummer minus antispøgelsesnummeret.

Det pæne ved spøgelsesnummeret er, at det er opladningen af en bestemt generator – det måles af operatøren ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ der opfylder $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ for enhver funktion af bestemt spøgelse nummer. Spøgelsesnummeret er fysisk vigtigt, fordi det at være en tilstand af spøgelsesnummer nul sammen med betingelsen for at være BRST-invariant er den nødvendige og tilstrækkelige tilstand for at være en fysisk tilstand.

At opnå denne betingelse kræver dog nu opnå BRST-differentiale ved at tilføje en anden differens $ \ mathrm {d} $ til $ \ delta $ , og viser, at $ \ delta + \ mathrm {d} $ giver, når ” små forstyrrelser ” føjes til det, den nilpotente operatør, der kræves til BRST-formalismen. (Afledningen af dette er meget teknisk og undertiden kendt som ” teoremet om homologisk forstyrrelsesteori “) Undersøgelse af handlinger fra $ \ mathrm {d}, \ delta $ , man finder ud af, at de måle-invariante funktioner er nøjagtigt de, der er uændrede under BRST-operatoren med nul spøgelsesnummer bør også pålægge denne begrænsning.

---

^{1 ” hvis homologi beregner ” er matematik tal for det er en operatør $ \ delta $ , hvor de måle-invariante funktioner er nøjagtigt funktionerne med $ \ delta (f) = 0 $ og hvor vi identificerer $ f $ og $ g $ hvis der er en $ h $ sådan at $ \ delta (h) = f – g $ . Dette bliver også lidt mere kompliceret i tilfælde af reducerbare begrænsninger.}

^{2 I tilfælde af irreducible begrænsninger beregner dette allerede måleren korrekt -variantfunktioner, og man kunne i princippet stoppe her. Det er imidlertid utilfredsstillende at have tilføjet $ P_a $ , men ikke have passende konjugerede variabler til dem i den Hamiltoniske formalisme.}

^{3 Denne definition er den diskrete, ikke-konforme analog til udtrykket for $ U $ , der er skrevet i spørgsmålet.}

^{Hovedreference: ” Kvantisering af målesystemer ” af Henneaux / Teitelboim}

---

Det specifikke tilfælde af $ bc $ -CFT

En generel ” $ bc $ -CFT “, dvs. en 2D konform felt-teori med spøgelseslignende felter er givet ved spøgelseshandling $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ når felterne $ b $ og $ c $ har henholdsvis vægte $ h_b $ og $ h_c = 1 – h_b $ . Faserumfunktioner med spøgelsesnummer nul oversættes nu til operatører med konform vægt $ 1 $ (da de har lige mange spøgelser og antispøgelser i sig, og vægten opfører sig additivt

Dette viser, at primære fysiske tilstande (ved tilstandsfeltkorrespondance af 2D CFTer) i en sådan teori nødvendigvis skal have overensstemmelsesvægt $ 1 $ .Dette er vigtigt i strengteori, hvor en $ bc $ -CFT med $ h_b = 2 $ er naturligt føjet til $ X $ -CFT i verdensarkfelterne. For en generisk CFT kunne alle mulige primærvalg i princippet være fysiske tilstande, men BRST-proceduren tvinger spøgelsesnummer nultilstande, dvs. felter med vægt $ 1 $ , som kun tilladte fysiske tilstande.

Kommentarer

• Dette er et meget detaljeret svar, men kan du også give et eksempel på brugen af spøgelsesnumre i CFT specifikt ?
• @JakeLebovic: Jeg tilføjede en kort forklaring på, hvordan kravet om nul spøgelsesnummer afspejles i tilfældet med strengteori (hvilket er det eneste tilfælde, jeg kender, hvor spøgelser vises i en CFT).

I den konforme feltteori på planet skal du definere et indre produkt i rummet stater i din teori. I bosonisk strengteori er statens rum, dvs. Hilbert-rummet i teorien $ \ mathcal {H} $, rummet for repræsentationen af Virassoro algebra:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

I den radiale kvantificering af CFT på det komplekse plan til enhver tilstand i Hilbert-rummet i teorien kan man knytte en lokal operatør til det komplekse plan, den såkaldte korrespondance mellem operatør og stat . BPZ indre produkt på dette Hilbert-rum kan defineres. Den første ting er at definere de asymptotiske tilstande $ | 0 \ rangle $ og $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identitetsoperator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {ved oprindelsen} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identitetsoperator} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {ved uendelig} \, \, z = \ infty $$

Disse to kan relateres ved en konform transformation $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Det kan vises, at under denne konforme transformation transformeres modes $ \ hat {\ alpha} _n $ for et felt $ \ Phi $ af conformal dimension $ h _ {\ Phi} $ som:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Så under den konforme transformation har vi følgende:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Dette for Virasoro algebra indebærer, at $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ og $ L_1 $ og deres anti-holomorfe modstykker $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ og $ \ overline {L} _1 $ udsletter både $ | 0 \ rangle $ og $ \ langle0 | $. Men disse tilstande genererer gruppen $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, gruppen af global konform transformation på Riemann-sfæren. Således kendes $ | 0 \ rangle $ is som $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – uforanderligt vakuum.

På den anden side kan det med $ (1) $ vises, at $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ og $ b_1 $ også udsletter både $ | 0 \ rangle $ og $ \ langle0 | $. Canonisk kommuteringsrelation for $ bc $ -systemet viser, at:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

så tilstande $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ og $ c_1 $ udsletter ingen af $ \ rvert0 \ rangle $ og $ \ langle0 \ rvert $. Det første ikke-nul matrixelement for $ bc $ -systemet på Riemann-sfæren er således:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

BPZ-konjugationen dvs. relation (1) overtræder spøgelsesnummeret med 3 enheder. Handlingen i $ bc $ -systemet har følgende spøgelsesnummersymmetri:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Den tilsvarende strøm er:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

I hvilken $: \ cdots: $ angiver normal rækkefølge.

Oprindelsen til overtrædelsen af spøgelsesnummeret beskrevet ovenfor er geometrisk. $ j $ er fermionantalstrømmen for chirale fermioner, der har ikke-konvertentalt heltalssnurr ($ b $ og $ c $ har begge heltalssnurr.) Så det har gravitationsanomali:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

I hvilken $ \ lambda $ er den dimensionelle dimension på $ b $. Ved at integrere dette kan man se, at spøgelsesnummerovertrædelsen på en slægt $ g $ Riemann-overflade (verdensark med lukket strengteori) er $ 3 (g-1) $. Vigtigheden af spøgelsesstrøm er, at den bestemmer ikke-nul S-matrixelementerne i CFT.