Hvad er Fermi Surface ? Jeg håber, at dette spørgsmål ikke er for elementært for dette forum, og undskyld på forhånd, hvis det er tilfældet.

Tillad mig at forklare min forvirring. I betragtning af et solidt, tror jeg, at jeg har en fornemmelse af Fermi-niveauet. Jeg kan for eksempel forstå det som den karakteristiske parameter $ \ mu $ i Fermi-Dirac-fordelingen af energiniveauer for elektronerne i systemet: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorerer for øjeblikket andre fysiske fortolkninger. Således er det det unikke energiniveau, der har sandsynligheden 1/2 for at blive optaget.

Definitionen af Fermi-overfladen på den anden side gives normalt som “iso-overfladen af stater med energi lig med Fermi-niveauet “i det tredimensionelle rum for bølgefigurer $ k $ , for eksempel i denne Wikipedia-artikel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Med andre ord er det defineret som de $ k $ sådan at $$ E (k) = \ mu. $$ Indtil videre er det så godt. Problemet er, jeg forstår ikke helt, hvad $ E (k) $ er.

En situation synes at være ligetil, nemlig en Fermi gas af identiske partikler. Derefter $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ og Fermi-overfladen er en sfære. Men hvis vi er i et uendeligt periodisk potentiale, den sædvanlige idealiserede model for Bloch-teori, så kommer løsningerne til Schroedinger-ligningen i form $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ hvor $ u_ {kn} $ er en periodisk funktion og $ n $ er et diskret indeks for energiniveauer. Med andre ord, for hver bølgevektor $ k $ ,

der er mange energiniveauer $ E_n (k) $ .

Så ligningen for Fermi overflade ville faktisk se ud som $$ E_n (k) = \ mu. $$ Mit spørgsmål er derfor er hvilket energiniveau $ E (k) $ , der forekommer i definitionen af Fermi-overfladen? Måske er der en Fermi-overflade for hvert niveau $ n $ ? (Forudsat at niveauerne varierer kontinuerligt over momentumområdet, hvilket gør det muligt for os konsekvent at indeksere niveauerne for varierende $ k $ .)

Hvis jeg kunne uddybe min forvirring lidt mere, jeg forstår ikke definitionen i dette svar på dette spørgsmål:

Hvad er Fermi overflade, og hvorfor er dette koncept så nyttigt i metalforskning?

Det anføres, at

“Fermi-overfladen er simpelthen overfladen i momentum, hvor, i grænsen af nul interaktioner, alle fermiontilstande med (krystal) momentum $ | k | < | k_F | $ er besat, og alle højere momentumtilstande er tomme. “

For en ting, som nævnt ovenfor, for ethvert momentum $ k $ , der er en uendelig rækkefølge af fermiontilstande. Det andet problem er, at jeg ikke er sikker på, at udsagnet ovenfor definerer en unik overflade, selvom jeg på en eller anden måde var i stand til at vælge en fermiontilstand $ \ psi (k) $ for hver $ k $ som udsagnet henviser til. (Jeg bliver nødt til at tegne et billede for at forklare dette punkt, som jeg ikke har kompetence til at gøre.)

Kommentarer

  • Fermi overflade er defineret ved en temperatur på absolut nul, så du tager jordtilstandsløsningerne $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Og i et fast stof ser du på staterne inden for en ( Wigner-Seitz) enhedscelle.
  • Citron: Jeg finder det også ret forvirrende. Så dit udsagn ville være ‘ Fermi-overfladen er sættet på $ k $ sådan at $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ hvor $ E_0 (k) $ er den laveste energi med momentum $ k $. Men så i et solidt, hvor mange af de lavere energibånd er fyldt, der ville være mange elektroner over Fermi-niveauet. Dette synes ikke at stemme overens med det sædvanlige billede.
  • Jon Custer: Jeg tror du ‘ henviser til det faktum, at hver af $ u_ {kn} $ bestemmes af deres værdier i en celle. Det ‘ er sandt. Men der er ingen tilstande, der bare er konc indført i en celle. ($ U_ {kn} $ er periodiske.) Under alle omstændigheder ser jeg ikke ‘ hvordan dette svarer på spørgsmålet.Den måde, du sætter det på, får dig til at lyde som ‘ for hver $ k $, der er en unik $ \ psi_ {kn} $ koncentreret i en celle, og dens energi er, hvad vi bruger til at definere Fermi-overfladen. ‘ Dette lyder ikke ‘ t af en række forskellige grunde.

Svar

Alt hvad du siger er korrekt. Fermi-overfladen er defineret som et sæt punkter $ k $, således at $ E_n (k) = \ mu $ for ethvert bånd $ n $. Imidlertid er båndene typisk anbragt relativt langt fra hinanden og overlapper ikke energi som denne:

indtast billede beskrivelse her

Som vi kan se, ligger båndene 1 og 3 helt over eller helt under det kemiske potentiale $ \ mu $ og er derfor irrelevante for bestemmelse af Fermi-overfladen ( faktisk ved lave temperaturer er disse bånd stort set irrelevante for fysiske fænomener – kun bånd nær det kemiske potentiale er fysisk vigtige). Derfor kan du i praksis komme væk med bare at overveje et eller to bånd og helt ignorerer alle de andre – og når der er en Fermi-overflade (dvs. det kemiske potentiale skærer et bånd), er et bånd næsten altid nok.

I mere kompliceret / usædvanligt Systemer er du dog nødt til at holde styr på flere bånd. F.eks. kan bånd undertiden røre eller krydse, og sjove ting kan ske, hvis du indstiller det kemiske potentiale nøjagtigt til cr forbrændingspunkt. Endnu mere usædvanligt kan to bånd dele en hel endelig vifte af energi – f.eks. to cosinuskurver skiftede lodret med en lille mængde. Men disse tilfælde er meget sjældne – for de fleste daglige materialer sidder $ \ mu $ højst et bånd, og du behøver ikke bekymre dig om dette. (Faktisk kan professionelle fysikere gerne finde / skabe usædvanlige materialer, hvor det kemiske potentiale sidder lige ved en båndkrydsning, netop fordi sådanne systemer er ikke så teoretisk velforståede, så der er mere at lære.)

BTW, i 1-D, ligesom plottet ovenfor, består Fermi “overfladen” bare af isolerede værdier på $ k $, men i 2-D er det normalt en lukket kurve i $ k_x $ – $ k_y $ -planet , og i 3-D er det normalt en lukket overflade, som en kugle. Nogle gange kan Fermi-overfladen faktisk bestå af to (eller flere) kugler, med den ene inden i den anden og den fyldte ” Fermi-havet “for det relavante bånd ligger imellem dem. Dette fænomen kaldes” Fermi-overfladenestning. “Men hvis du bare lærer om Fermi-overflader, behøver du ikke bekymre dig om disse komplicerede situationer i lang tid.

Kommentarer

  • Tak for det klare svar. Forresten, jeg ‘ har samlet nu, at ordet ‘ bånd ‘ bruges på to forskellige måder i fast tilstandsfysik. Det ord, du bruger her, refererer bare til et energiniveau. Men der er også forestillingen om et bånd som en i det væsentlige kontinuerlig fordeling af energiniveauer, mellem hvilke der er ‘ huller. ‘ Jeg tror dette var en stor del af min forvirring. Ret mig, hvis jeg ‘ tager fejl af dette.
  • @MinhyongKim A ” bånd ” defineres som en enkelt kurve $ E_n (k) $ for en given værdi på $ n $. (Jeg synes det ‘ er noget vildledende at kalde det et ” energiniveau ” fordi funktionen er generelt ikke konstant, så den tager værdier over et helt endeligt interval af energier.) Folk misbruger lejlighedsvis terminologi og bruger også ordet ” band ” for at henvise til det interval af energi, som funktionen strækker sig over – dvs. kollaps af momentumafhængigheden. Du ‘ har ret i, at det er det, folk tænker på, når de taler om ” båndhuller. ” Men de to sanser af ” bånd ” er virkelig næsten identiske …
  • .. Den eneste forskel er, om du holder styr på afhængigheden af $ k $ eller bare overvejer funktionen ‘ s rækkevidde.
  • Tak for den yderligere forklaring. Men det forekommer mig noget vigtigt at skelne mellem de to sanser. Hvis ordet ‘ bånd ‘ blev brugt i betydningen elektronisk båndstruktur, så ligningen $ E_n (k) = \ mu $ ville ‘ ikke være veldefineret selv for en fast værdi på $ n $. Dette var en af de meget forvirrende ting for en novice som mig. Under alle omstændigheder tak igen!

Svar

Fermi-overfladen er overfladen i det gensidige rum ( dobbelt af det virkelige rum, du bor i) afgrænser de fermioniske besatte stater fra de fermioniske ledige ved nul temperatur.Så det er et momentum ($ k $) konstruktion snarere end en energikonstruktion.

Logikken er følgende: prøv at sætte alle sammen et givet antal fermioner. Da de følger Pauli-udelukkelsesprincippet, kan du ikke pakke disse fermioner som du vil. Hver gang der er plads til en tilstand i momentumrummet, kan kun en fermion besætte dette tomme rum. Så du skal begynde at bunke fermionerne. Det har en komplet analogi med at fylde en bogreol med bøger: Du skal bruge den næste række, når den forrige er fuld. Du kan bruge mindre intervaller mellem råvarer, forstørre størrelsen på hver råvare … hvis du har for mange bøger, kan du bruge den næste råvare, hvilket ikke er andet end at bruge den næste momentum i din dispersionsrelation (hvad du kalder $ k_n (E) $). Når du lægger den sidste fermion i din fermioniske reol , kaldes den tilsvarende momentum tilstand Fermi momentum, den tilsvarende energi kaldes Fermi energi, …, og overfladen af iso- $ k $ ved Fermi-momentum kaldes Fermi-overfladen.

Få bemærkninger nu

  • Der vil aldrig være et uendeligt antal grene, der bruges til at udfylde en endelig antal fermioner i spredningsforholdet (materialets båndstruktur, hvis du foretrækker det).

  • Der er ingen modsigelse i formodningen om, at Fermi-overfladen har flere ark. Selv på Wikipedia har du allerede et eksempel på Fermi-overflade med elektron- og hullommer

  • Begrebet Fermi-overflade kommer fra forestillingen om (Fermi-Dirac) statistikker, når du har et endeligt antal partikler at håndtere (i en gammel terminologi er det et andet kvantificeret problem), mens båndstrukturen er det komplette spektrum af tilgængelige tilstande for en partikel (i den gamle terminologi er det et første kvantificerede problem) i et periodisk potentiale. Den nemme måde at passere fra den ene til den anden er brugen af det kemiske potentiale, der fastsætter antallet af partikler pr. Energitilstand (mere præcist, den mængde energi, der kræves for at tilføje en partikel til det termodynamiske system).

  • Fermi-overfladen er et særligt nyttigt koncept til at forstå et par transportegenskaber (elektrisk, varme, … transporter) til materialer med enkle båndstrukturer, som rene metaller og dopede halvledere. Når Fermi-overfladen bliver for kompliceret, bliver det svært at få intuition fra den. Jeg tror, det er kernen i misforståelsen af konceptet i dit spørgsmål.

Kommentarer

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *