Jeg bliver ved med at se begreberne førsteordensbetingelser og andenordensbetingelser, der bruges i min undergrad økonomiklasse om produktionsfunktioner, monopoler osv., men jeg aner ikke hvad disse udtryk betyder. Det virker som et helt tvetydigt udtryk. Hvilke slags betingelser?
Kan nogen forklare, hvad disse udtryk betyder? Hvis det er kontekstafhængigt, forudsat at nogle af dem er de mest elementære betydninger, du forbinder med udtrykket.
Svar
Antag at du har en differentierbar funktion $ f (x) $, som du vil optimere ved at vælge $ x $. Hvis $ f (x) $ er nytte eller fortjeneste, vil du vælge $ x $ (dvs. forbrugspakke eller produceret mængde) for at gøre værdien af $ f $ så stor som muligt. Hvis $ f (x) $ er en omkostningsfunktion, skal du vælge $ x $ for at gøre $ f $ så lille som muligt. FOC og SOC er forhold, der bestemmer, om en løsning maksimerer eller minimerer en given funktion.
På undergrad-niveau er det normalt tilfældet, at du skal vælge $ x ^ * $, så derivatet af $ f $ er lig med nul: $$ f “(x ^ *) = 0. $$ Dette er FOC. Intuitionen for denne betingelse er, at en funktion når sin ekstremum (enten maksimum eller minimum), når dens derivat er lig med nul (se billedet nedenfor). [Du skal være opmærksom på, at der er flere involverede finesser: slå termer op som “interiør vs hjørneløsninger”, “global vs lokal maksimum / minimum” og “sadelpunkt” for at lære mere].
Som billedet illustrerer, er det simpelthen ikke at finde $ x ^ * $ hvor $ f “(x ^ *) = 0 $ ikke er nok til at konkludere at $ x ^ * $ er den løsning, der maksimerer eller minimerer den objektive funktion. I begge grafer opnår funktionen en hældning på nul ved $ x ^ * $, men $ x ^ * $ er en maksimering i venstre graf, men en minimizer i den højre graf.
For at kontrollere, om $ x ^ * $ er en maksimering eller en minimizer, skal du bruge SOC. SOC for maksimering er $$ f “” (x ^ *) < 0 $$ og SOC for minimizer er $$ f “” (x ^ *) > 0. $$ $$ Intuitivt, hvis $ x ^ * $ maksimerer $ f $, er hældningen på $ f $ omkring $ x ^ * $ faldende. Tag den venstre graf, hvor $ x ^ * $ er en maksimering. Vi ser, at hældningen på $ f $ er positiv til venstre for $ x ^ * $ og negativ til højre. Omkring $ $ ^ ^ * $, når $ x $ stiger, falder $ f “(x) $ således. Intuitionen i tilfælde af minimizer er ens.
Kommentarer
- Men hvorfor det ' ikke kaldes " Første afledte test " er stadig et mysterium for mig.
Svar
For eksempel når du taler om profitmaksimering startende fra en profitfunktion $ \ pi (q) $, hovedbetingelsen for et maksimum er, at: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Dette er FOC (første ordre For at være sikker på, at det, du har fundet ovenfor, er et sandt maksimum, skal du også kontrollere en “sekundær” tilstand, som er: $$ \ frac {\ delvis ^ 2 \ pi} {\ partial q ^ 2} < 0 $$ Dette kaldes SOC (anden ordens betingelse).
Svar
Målet er at finde et lokalt maksimum (eller minimum) af en funktion.
Hvis f unction kan differentieres to gange:
- første afledte test fortæller dig, om det er en lokal ekstremum.
- anden afledte test fortæller dig, om det er et lokalt maksimum eller et minimum.
Hvis du funktion kan ikke differentieres, kan du lave en mere generel extremum test .
Bemærk: det er umuligt at konstruere en algoritme for at finde en globalt maksimum for en vilkårlig funktion .
Neoklassiske økonomer omdøber bestemt disse to matematiske metoder til førsteordens betingelser og andenordens betingelser for at se cool ud eller af andre historiske grunde. Hvorfor bruge et navn, der er meget brugt, når du bare kan sammensætte et?
Udtrykket bruges også på begrænset maksimering , når de bruger Lagrange multiplikator metode og Karush – Kuhn – Tucker betingelser . Igen tror jeg ikke, at udtrykket bruges af ikke-økonom.