Hvad er forskellen mellem faseforsinkelse og gruppeforsinkelse?

Først og fremmest er definitionerne forskellige:

• Fase forsinkelse: (negativ af) Fase divideret med frekvens
• Gruppeforsinkelse: (negativ af) Første derivat af fase vs frekvens

Med ord som betyder:

• Fase forsinkelse: Fase vinkel på dette punkt i frekvens
• Gruppe forsinkelse: Ændringshastighed for fasen omkring dette punkt i frekvens.

Hvornår skal den ene eller den anden virkelig afhænge af din applikation. Den klassiske anvendelse af gruppeforsinkelse er modulerede sinusbølger, for eksempel AM-radio. Den tid, det tager for moduleringssignalet at komme igennem systemet, gives af gruppeforsinkelsen ikke af faseforsinkelsen. Et andet lydeksempel kan være en sparktromle: Dette er for det meste en moduleret sinusbølge, så hvis du vil bestemme, hvor meget sparktromlen vil blive forsinket (og potentielt udtværet i tide), er gruppeforsinkelsen den måde at se på den.

Kommentarer

• ” Absolut fase på dette tidspunkt i frekvens ” Ville ‘ ikke bare kaldes ” fase “?
• Jeg mente ” absolut ” sammenlignet med ” relativ “, men jeg kan se, at dette kan forveksles med ” absolut værdi “. Jeg ‘ Jeg redigerer det
• en sidste vigtig forskel: faseforsinkelsen med en eller anden frekvens $ f $ er tidsforsinkelsen for fase af det kvasi-sinusformede signal med frekvensen $ f $ passeret gennem filteret. gruppeforsinkelse er tidsforsinkelsen for konvolutten eller ” gruppe ” af kvasi-sinusformet.

De må ikke begge måle hvor meget en sinusform er forsinket. Faseforsinkelse måler nøjagtigt det. Gruppeforsinkelse er lidt mere kompliceret. Forestil dig en kort sinusbølge med en amplitude-kuvert anvendt på den, så den falmer ind og falmer ud, siger en gaussian ganget med en sinusoid Denne konvolut har en form til den, og især har den en top, der repræsenterer centrum for den “pakke”. Gruppeforsinkelse fortæller dig, hvor meget amplitude-konvolutten vil blive forsinket, især hvor meget toppen af den pakke vil bevæge sig forbi.

Jeg kan godt lide at tænke over dette ved at gå tilbage til definitionen af gruppeforsinkelse: det er afledt af fase. Derivatet giver dig en linearisering af fasesponset på det tidspunkt. Med andre ord, ved en eller anden frekvens fortæller gruppeforsinkelsen dig omtrent, hvordan faseresponset for de tilstødende frekvenser relaterer til faseresponset på det tidspunkt. Husk nu, hvordan vi bruger en amplitudemoduleret sinusform. Amplitudemodulationen tager sinusoidens top og introducerer sidebånd ved nærliggende frekvenser. Så på en måde giver gruppeforsinkelsen dig information om, hvordan sidebåndene vil blive forsinket i forhold til den bærerfrekvens, og anvendelse af denne forsinkelse vil ændre formen på amplitude-konvolutten på en eller anden måde.

skøre ting? Årsagsfiltre kan have negativ gruppeforsinkelse!Tag din gaussiske ganget med en sinusformet: du kan opbygge et analogt kredsløb, så når du sender signalet igennem, vil konvoluttens top blive vist i output før input. Det virker som et paradoks, da det ser ud til, at filteret er nødt til at “se” ind i fremtiden. Det er bestemt underligt, men en måde at tænke på det er, at da konvolutten har en meget forudsigelig form, har filteret allerede nok information til at foregribe, hvad der skal ske. Hvis en spids blev indsat i midten af signalet, ville filteret ikke forvente det. Her er en virkelig interessant artikel om dette: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Kommentarer

• Når du siger ” billede a … “, ville et faktisk billede være virkelig nyttigt her.

For dem, der stadig ikke kan kritisere, er forskellen her et simpelt eksempel

Tag en lang transmissionslinie med simpelt kvasi-sinusformet signal med en amplitude-konvolut, $ a (t) $ , ved dens input

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Hvis du måler dette signal ved transmissionen linjeafslutning, $ y (t) $ , det kan komme et eller andet sted som dette:

$$ \ start {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

hvor $ \ phi $ er faseforskel fra input til output.

Hvis du vil have, hvor lang tid det tager fase af sinusformet, $ \ sin (\ omega t) $ transmission fra input til output derefter $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ er dit svar på få sekunder.

Hvis du vil have, hvor meget tid det tager, tager konvolutten , $ a (t) $ , af sinusformet transmission fra input til output derefter $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ er dit svar på få sekunder.

Faseforsinkelse er bare rejsetid for en enkelt frekvens, mens gruppeforsinkelse er mål for amplitudeforvrængning, hvis der anvendes array med flere frekvenser.

Jeg ved, det er et smukt gammelt spørgsmål, men jeg har ledt efter en afledning af udtryk for gruppeforsinkelse og faseforsinkelse på Internettet. Der findes ikke mange sådanne afledninger på nettet, så jeg troede, at jeg ville dele det, jeg fandt. Bemærk også, at dette svar mere er en matematisk beskrivelse end en intuitiv. For intuitive beskrivelser henvises til ovenstående svar. Så her går:

Lad os se på et signal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

og send dette gennem en LTI system med frekvensrespons

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Vi har betragtet systemets forstærkning som en enhed, fordi vi er interesserede i at analysere, hvordan systemet ændrer indgangssignalets fase snarere end forstærkningen. I betragtning af, at multiplikation i tidsdomæne svarer til foldning i frekvensdomæne, er Fourier-transformeringen af indgangssignalet givet af

$$ X (j \ omega) = {1 \ over 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

hvilket svarer til

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Derfor har systemets output et frekvensspektrum givet ved

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

For at finde den inverse Fourier-transformation af ovenstående udtryk skal vi kende den nøjagtige analytiske form for $ \ phi (\ omega) $ . For at forenkle forholdene antager vi, at frekvensindholdet i $ a (t) $ kun inkluderer de frekvenser, der er signifikant lavere end bærefrekvensen $ \ omega_0 $ . I dette scenarie kan signalet $ x (t) $ ses som et amplitudemoduleret signal, hvor $ a (t ) $ repræsenterer konvolutten for det højfrekvente cosinus-signal. I frekvensdomænet indeholder $ B (j \ omega) $ nu to smalle frekvensbånd centreret ved $ \ omega_0 $ og $ – \ omega_0 $ (se ovenstående ligning).Dette betyder, at vi kan bruge en første ordens Taylor-udvidelse til $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

hvor $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Når vi tilslutter dette, kan vi beregne den inverse Fourier-transformation af den første halvdel af $ B (j \ omega) $ som

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Erstatning $ \ omega – \ omega_0 $ til $ \ omega “$ , dette bliver

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega “)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega “$$

hvilket forenkler til

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Tilslutning af udtryk for $ \ alpha $ og $ \ beta $ , dette bliver

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Tilsvarende den anden halvdel af den inverse Fourier-transformation af $ B (j \ omega) $ kan opnås ved at erstatte $ \ omega_0 $ af $ – \ omega_0 $ . Bemærk, at for ægte signaler er $ \ phi (\ omega) $ en ulige funktion, dette bliver

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Således Når vi tilføjer de to, får vi $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Bemærk forsinkelserne i konvolutten $ a (t) $ og bærer cosinus signal. Gruppeforsinkelse $ (\ tau_g) $ svarer til forsinkelsen i konvolutten, mens faseforsinkelse $ (\ tau_p) $ svarer til forsinkelsen i transportøren. Således

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Faseforsinkelsen for et hvilket som helst filter er den tidsforsinkelse, som hver frekvenskomponent lider under at gå gennem filtrene (Hvis et signal består af flere frekvenser.)

Gruppen forsinkelse er den gennemsnitlige tidsforsinkelse for det sammensatte signal, der er lidt ved hver komponent af frekvenser.