Hvad er frekvensopløsning?

Rediger:

Jeg er klar over, at min definition nedenfor af " Frekvensopløsning " er fuldstændig forkert (såvel som OPs spørgsmål). Frekvensopløsning er, hvor ligner vinduesfunktionens størrelse i frekvensrum Dirac delta-funktionen. Dette skyldes, at produktet af vinduet og signalet i tidsdomænet bliver sammenfald i frekvensdomænet ( og en foldning med Dirac delta-funktionen er en prøveudtagning, der giver perfekt frekvensopløsning) Jo fadere hovedfladen (kvantificeret ved dens varians), og jo højere sidelobber er, jo dårligere er frekvensopløsningen. Derudover kan Tidsopløsning kvantificeres i forhold til vinduesfunktionens varians i tidsdomænet.

Frekvensopløsning er ikke binopløsning / bredde. I grafen nedenfor bemærkes, at lapper ikke kommer tættere på (frekvensopløsning), selvom skraldespandbredden er faldende.

Kredit: Dan Boschen

Frekvensopløsning er snarere en egenskab ved Fourier-transformationen af den rektangulære funktion (dvs. sinc-funktionen).

Vi skal vinduesfunktioner for at arbejde med Fourier-transformationer (selv når vi arbejder teoretisk). Som en konsekvens arbejder vi altid med $ f (t) w (t) $ snarere end funktionen $ f (t ) $ selv (her $ w (t) $ er en rektangulær funktion). Ved konvolutionssætningen er Fourier-transformationen af en vinduesfunktion altid en sammenblanding af $ \ hat {f} $ med $ \ hat {w} = $ sinc. Især når $ f $ er sinusformet, vil $ \ hat {f} $ være en Dirac delta-funktion og sammenfaldet vil bare være et udsnit af en sinc-funktion. Således mister vi periodisk frekvenser fuldstændigt, når vi vinduer, periodiciteten af dette tab er frekvensopløsning .

Da DTFT på vinduesfunktioner er en periodisk tilnærmelse af CTFT, får den også disse egenskaber.

Forvirringen opstår, fordi når vi ikke lægger nuller til DFT (dvs. kun prøve $ f (t) w (t) $ hvor $ w (t) = 1 $ ), skraldespandbredden er lig med Frekvensopløsningen.

Vi kan dog også putte nuller (dvs. også prøve $ f (t) w (t) $ hvor $ w (t) = 0 $ ) og dette resulterer i, at DTF bedre interpolerer DTFT på $ f (t) w (t) $ . Overhold den første graf.

For at se hvorfor Fourier-transformationen af den rektangulære funktion er en sinc-funktion se denne video og overvej viklingen af de sinusformede funktioner (det er dog ganske involveret)

For at besvare OPs eksempel er skraldespandens opløsning $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ hvor $ F_s = 2000 $ Hz er samplingshastigheden, og $ N $ DFT-størrelsen.

Frekvensopløsningen er, hvad binopløsningen ville være, hvis vi bare prøvede i vinduet (ingen polstring nul)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ hvor $ M $ er antallet af prøver i vinduet, $ T $ er prøveens varighed, og $ F_s = M / T $ .

Kommentarer

• Dejligt svar Tom.Også for at tilføje, hvis det ikke er klart, bruger vi ofte ikke ' t faktisk et rektangulært vindue, men andre vinduer, der tilspidser, der tjener til at reducere sidelobene (forbedre det dynamiske område) på bekostning af nedbrydning frekvensopløsning yderligere. Et af mine foretrukne klassiske papirer om dette og anvendelserne af DFT generelt er af Fred Harris. Jeg tror, at du ' virkelig nyder det, hvis du ikke har ' ikke allerede har set det: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Dejligt, alt for dårlig, jeg kan ' ikke opstemme to gange!
• @TomHuntington Wikipedia ved tilsyneladende ikke ' om mine formler eller teknikker. Jeg har stadig problemer med intrabin-opløsning (på grund af støj og ligningens følsomhed), men nærliggende frekvenser kan løses ved iterativ estimering og fjernelse. Når du fjerner den store tone, kan den mindre estimeres. Når du fjerner den lille tone, får du en bedre læsning om den store. Og så videre, selv med flere toner. Enhver form for vindue komplicerer matematikken.
• Hvis du har to sinusoider med næsten lige amplitude, men meget tæt i frekvens, kan du bruge beat-fænomenet i tidsdomænet. Signalets tilsyneladende frekvens (ved nul krydsninger) er gennemsnittet af de to frekvenser, og hyppighedens frekvens (hvis du tager en hel cyklus, f.eks. To lapper) er halv forskellen på frekvenserne.
• Opløsning definerer også din præcision uanset hvad du måler. Det siger intet om nøjagtighed.

Afhænger lidt af, hvad du prøver at opnå.

Hvis du laver en FFT af længden $ N $ af et signal, der samples ved samplet med en hastighed på $ F_s $ , så ville mange mennesker sige, at din frekvensopløsning er $ \ frac {F_s} {N} $ . Om det er korrekt eller ej, afhænger virkelig af, hvordan du præcist definerer frekvensopløsning, og hvad du planlægger at gøre med det.

Hvad der virkelig sker, er at du prøver en frekvensdomæne-funktion med en sampling interval på $ \ frac {F_s} {N} $ . Så snart du vælger en FFT-størrelse, sampler du i begge domæner, hvor samplingsintervallerne er $ \ frac {1} {F_s} $ i tid og $ \ frac {F_s} {N} $ i frekvens.

Frekvensdomæneudtagning har alle de samme egenskaber, krav og problemer som tidsdomæneudtagning, du kan få aliasing, du kan interpolere, der antages periodicitet i det andet domæne osv.

Ved simpelthen at anvende samplingssætningen kunne vi hævde, at den frekvensopløsning, der kræves for fuldt ud at karakterisere et signal, simpelthen er den omvendte af længde i tidsdomænet. Dette fungerer godt for signaler, der i sagens natur er tidsbundet, såsom impulsrespons fra et LTI-system.

Det er dog ikke praktisk for lange kontinuerlige signaler. I dette tilfælde skal du vælge en frekvensopløsning, der er god nok til din applikation, og det afhænger virkelig af kravene og målet for din specifik applikation.

Stikprøven gives af $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
Vindueslængden er 1000 prøver.
Da vinduslængden skal være lig datalængden, slutter vi datalængden til 1000 prøver hvilket betyder, at samplingstiden er $ 0,5 $ [Sec].

Binopløsningen i DFT er rationen mellem samplingsintervallet til antallet af DFT-prøver, som i dette tilfælde er 2000. Derfor er binopløsningen $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

FFTs binbredde eller repreantationsopløsningen, som jeg gerne kalder det, er Fs / N, hvor N er størrelsen på FFT. Den aktuelle opløsning afhænger af det vindue, du bruger, og længden af vinduet.

For eksempel: et rektangulært vindue giver maksimal opløsning, men mindre dynamisk område. Andre mere glattere vinduer giver mindre opløsning med mere dynamisk rækkevidde eller nederste sidelapper.