Hvad er i enkle termer målerinvariation?

Årsagen til, at det er så svært at forstå, hvad fysikere mener, når de taler om “målefrihed” er, at der er mindst fire ulige definitioner, som jeg har set brugt :

• Definition 1: En matematisk teori har en målefrihed, hvis nogle af de matematiske frihedsgrader er “overflødige” i den forstand, at to forskellige matematiske udtryk beskriver det nøjagtigt samme fysiske system . Derefter er de overflødige (eller “måleafhængige”) frihedsgrader “ufysiske” i den forstand, at intet muligt eksperiment entydigt kunne bestemme deres værdier, selv i princippet. Et berømt eksempel er den samlede fase af en kvantetilstand – den er fuldstændig umålelig, og to vektorer i Hilbert-rummet, der kun adskiller sig fra en samlet fase, beskriver den nøjagtige samme tilstand. Et andet eksempel, som du nævnte, er enhver form for potentiale, som skal differentieres til at give en fysisk størrelse – for eksempel en potentiel energifunktion. (Selvom nogle af dine andre eksempler, som temperatur, ikke er eksempler på måleafhængige størrelser, fordi der er en veldefineret fysisk følelse af nul temperatur.)

  For fysiske systemer, der er beskrevet af matematiske strukturer med en målefrihed, er den bedste måde at matematisk definere en bestemt fysisk konfiguration på som en ækvivalensklasse af målerafhængige funktioner, der kun adskiller sig i deres måler frihedsgrader F.eks. I kvantemekanik er en fysisk tilstand ikke faktisk beskrevet af en enkelt vektor i Hilbert-rummet, men snarere af en ækvivalensklasse af vektorer, der adskiller sig med en samlet skalar mul tiple. Eller mere simpelt ved hjælp af en linje af vektorer i Hilbert-rummet. (Hvis du ønsker at blive fancy, kaldes rummet for fysiske tilstande et “projektivt Hilbert-rum”, som er linjesættet i Hilbert-rummet, eller mere præcist en version af Hilbert-rummet, hvor vektorer identificeres, hvis de er proportionale til hinanden.) Jeg formoder, at I også kunne definere “fysiske potentielle energier” som sæt af potentielle energifunktioner, der kun adskiller sig ved hjælp af en additivkonstant, skønt det i praksis er en slags overkill. Disse ækvivalensklasser fjerner målefriheden ved konstruktion og det samme er “gauge invariant.”

  Nogle gange (dog ikke altid) er der en simpel matematisk operation, der fjerner alle de overflødige frihedsgrader, samtidig med at alle de fysiske bevares. For eksempel, givet en potentiel energi, kan man tage gradienten til at give et kraftfelt, som er direkte målbart.Og i tilfælde af klassisk E & M er der visse lineære kombinationer af delvise derivater, der reducerer potentialerne til direkte målbare $ {\ bf E} $ og $ {\ bf B} $ felter uden at miste nogen fysisk information. I tilfælde af en vektor i et kvante-Hilbert-rum er der ingen simpel afledt operation, der fjerner fasefriheden uden at miste noget andet.

• Definition 2: Det samme som definition 1, men med det yderligere krav, at de overflødige frihedsgrader er lokale . Dette betyder, at der findes en form for matematisk operation, der afhænger af en vilkårlig glat funktion $ \ lambda (x) $ på rumtid, der efterlader de fysiske frihedsgrader (dvs. de fysisk målbare størrelser) uændrede. Det kanoniske eksempel er selvfølgelig, at hvis du tager nogen glat funktion $ \ lambda ( x) $ og derefter tilføje $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ til det elektromagnetiske firepotentiale $ A_ \ mu (x) $ efterlader de fysiske størrelser ($ {\ bf E} $ og $ {\ bf B } $ felter) uændret. (I feltteori formuleres kravet om, at de “fysiske frihedsgrader” er uændrede, således at det kræver, at den lagrangiske tæthed $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ er uændret , men andre formuleringer er mulige.) Denne definition er klart meget strengere – eksemplerne ovenfor i definition 1 tæller ikke med under denne definition – og mest den tid, hvor fysikere taler om “måle frihed” dette er den definition, de mener. I dette tilfælde har du et uendeligt antal i stedet for kun at have et par overflødige / ufysiske frihedsgrader (som den samlede konstant for din potentielle energi). (For at gøre tingene endnu mere forvirrende bruger nogle mennesker sætningen “global gauge symmetry” i betydningen Definition 1 til at beskrive ting som den kvantetilstands globale fase frihed, hvilket helt klart ville være en modsigelse med hensyn til definitionen 2.)

  Det viser sig, at for at håndtere dette i kvantefeltteori, er du nødt til at ændre din tilgang til kvantisering væsentligt (teknisk set er du nødt til at “måle rette din stiintegral”) for at for at fjerne alle de ufysiske frihedsgrader. Når folk taler om “gauge invariant” -mængder under denne definition, betyder de i praksis normalt de direkte fysisk målbare derivater, som den elektromagnetiske tensor $ F _ {\ mu \ nu} $, der forbliver uændrede (“invariant”) under enhver målingstransformation . Men teknisk set er der også andre måle-invariante mængder, f.eks. en ensartet kvantesuperposition af $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ over alle mulige $ \ lambda (x) $ for en bestemt $ A_ \ mu (x). $

  Se Terry Taos blogindlæg for en fantastisk forklaring på denne anden følelse af målesymmetri fra et mere matematisk perspektiv.

• Definition 3: En Lagrangian siges undertiden at have en “gauge symmetry”, hvis der findes en eller anden operation, der afhænger af en vilkårlig kontinuerlig funktion i rumtiden, der efterlader den uforanderlig, selvom frihedsgraderne ændres er fysisk målbare.

• Definition 4: For en “gittermålerteori” defineret på lokale gitter Hamiltonians findes der en operatør, der understøttes på hvert gittersted, der pendler med Hamiltonian. I nogle tilfælde svarer denne operatør til en fysisk målbar mængde.

Tilfældene i definition 3 og 4 er lidt konceptuelt subtile, så jeg vil ikke gå i dem her – jeg kan adressere dem i en opfølgning -up spørgsmål, hvis nogen er interesseret.

Opdatering: Jeg har skrevet opfølgende svar om, hvorvidt der er nogen mening, hvor frihedsgraderne kan være fysisk målbare i Hamilton-sagen og Lagrangian-sagen .

Kommentarer

• Fremragende svar! Dette er en af de bedste eksplanteringer (på et enkelt sted) ive kommer på tværs endnu !!!! : D
• Ive stillede opfølgningsspørgsmålet om finesser mellem nr. 3 og # 4
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Se opdateringen i slutningen af mit svar for links til mine opfølgninger.

Jeg forstod det kun efter at have taget en klasse i generel relativitet (GR), differentiel geometri og kvantefeltteori (QFT). Essensen er bare en ændring af koordinatsystemer, der skal reflekteres i derivatet. Jeg forklarer, hvad jeg mener.

Du har en teori, der er uforanderlig under en eller anden symmetri-gruppe. Så i kvanteelektrodynamik har du en lagrangisk tæthed for fermionerne (endnu ingen fotoner) $$ \ matematisk L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Denne $ \ bar \ psi $ er kun $ \ psi ^ \ dolk \ gamma ^ 0 $, vigtigt er, at det er komplekst konjugeret.Det faktum, at det er en firvektor i spin-space, er ingen bekymring her. Hvad man kan gøre nu er at omdanne $ \ psi \ til \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ med nogle $ \ alpha \ i \ mathbb R $. Derefter vil $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ og Lagrangian være uforanderlig, da derivatet ikke virker på den eksponentielle funktion, det er bare en fasefaktor. Der har du en global symmetri.

Fremme nu symmetrien til en lokal, hvorfor ikke? I stedet for en global $ \ alpha $ har man nu $ \ alpha (x) $. Dette betyder, at vi vælger forskellige $ \ alpha $ på hvert punkt i rumtiden. Problemet er, at når vi transformerer nu, opfanger man $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ med kæde- og produktreglerne for differentiering. Det virker som en teknisk komplikation i starten.

Der er en mere fortællende måde at se dette på:
Du tager et afledt af et felt $ \ psi (x) $. Dette betyder at tage en forskelkvotient som $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ til 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ Dette fungerer fint med en global transformation. Men med den lokale transformation trækker du dybest set to værdier, der måles forskelligt. I differentiel geometri har du, at tangentrummet på de forskellige punkter i manifolden er forskellige, og man kan derfor ikke bare sammenligne vektorer efter deres komponenter. Man har brug for en forbindelse med forbindelseskoefficienter for at give parallel transport . Det ligner her. Vi har nu forfremmet $ \ phi $ fra at leve på $ \ mathbb R ^ 4 $ til at leve i bundtet $ \ mathbb R ^ 4 \ gange S ^ 1 $, da vi har en U (1) målergruppe. Derfor har vi brug for en slags forbindelse for at transportere den transformerede $ \ phi $ fra $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ til $ x $. Det er her, man skal introducere en forbindelse, som er $$ \ partial_ \ mu \ til \ mathrm D_ \ mu: = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Hvis du sætter det i Lagrange-tætheden for at gøre det $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ og vælg derefter $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ vil du se, at den lagrangiske tæthed forbliver uændret selv under lokale transformationer, da forbindelseskoefficienten bare trækker den uønskede term fra produkt / kædereglen.

I generel relativitet har du symmetrien under vilkårlig diffeomorfisme, prisen er, at du skal ændre derivatet til en forbindelse, $$ \ partial \ til \ nabla: = \ partial + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Da du nævnte kommer fra en matematisk baggrund, kan du finde det rart at tage et svar med hensyn til ækvivalensklasser.

En gauge-teori er fysisk teori, hvor de observerbare størrelser, som i ting, du kunne måle med et eksperiment givet perfekt måleudstyr, er ækvivalensklasser i et vektorrum.

Elektromagnitisme er det mest almindelige eksempel. Moderne fysikteorier er altid skrevet som fiberbundter, hvor den underliggende manifold er rumtid, og fibrene er et tangentrum forbundet med hvert punkt (kaldet en begivenhed) i rumtiden. E & M i ledig plads (ingen afgifter til stede) er beskrevet ved at knytte et objekt med 4 komponenter kaldet $ A _ {\ mu} $ til hvert rumtidspunkt, $ x $, og kræve $ En _ {\ mu} (x) $ for at tilfredsstille maxwells ligninger.

Imidlertid er de observerbare, lige målbare størrelser i naturen de elektriske og magnetiske felter, $ \ vec {E} (x) $ og $ \ vec {B} (x) $. Disse stammer fra $ A _ {\ mu} (x) $ ved hjælp af definitionen i denne wiki (se på matrixelementerne i $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Det viser sig, at transformationen $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ for enhver dobbelt differentierbar funktion $ f (x) $ giver de samme værdier for de observerbare felter $ \ vec {E} (x) $ og $ \ vec {B } (x) $. Så der er en ækvivalensrelation

$ A _ {\ mu} (x) \ approx A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ .

Og generelt er gauge teorier teorier, hvor de observerbare størrelser er funktioner på ækvivalensklasser for nogle vektorer i et vektorrum. i dette tilfælde var vores vektorer $ A _ {\ mu} (x) $ (disse er vektorer i funktionsrummet med to gange differentierbare funktioner på rumtid), og vores ækvivalensforhold blev givet ovenfor.

Hvad angår din endelige spørgsmål om, hvorvidt ting som systemets samlede energi kun bestemmes op til konstant faktor i en hvilken som helst referenceramme, gør newtons dynamik til en måle teori. Svaret er nej, ikke rigtig. Dybest set, hvis du ikke taler om en feltteori, vil en fysiker ikke kalde det en måle-teori.

Kommentarer

• Pænt svar, men måske ville det være mere præcist at sige, at observerbare i en gauge-teori er funktioner på et sæt ækvivalensklasser af [ting som forbindelser og bundt sektioner] mod gauge ækvivalens.Frustrationen ved målteori er, at vi ikke kan ‘ ikke kender mange tilfælde, hvor vi kan beskrive disse funktioner undtagen ved at give funktioner på forbindelserne og sektionerne.
• Du har ret, mit sprog er lidt sjusket. Det skal læse noget som ” observerbare funktioner er ækvivalensklasser i et eller andet vektorrum. ”

Målevariation er simpelthen en redundans i beskrivelsen af et fysisk system. Dvs. vi kan vælge mellem et uendeligt antal vektorpotentialer i E & M.

For eksempel kan et uendeligt antal vektorpotentialer beskrive elektromagnetisme ved transformationen nedenfor

$$ A (x) \ til A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

Valg af en bestemt måler (målerfiksering) kan gøre det muligt at løse et fysisk problem meget lettere, end det ville være, hvis du ikke fikset en måler.

Normalt vælger man Coulomb-måleren: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Det skal være understreget, at måleinvarians IKKE er en symmetri af naturen, og at du ikke kan måle noget der er forbundet med det.

Måleinvarians er mest nyttig i kvantefeltteori og er afgørende for at bevise renormalisering. Derudover kræver S-matrixelementer i QFT en lokal Lagrangian og dermed målerinvariation.

Som et eksempel på, hvorfor vi ville introducere den vektorpotetielle $ A ^ \ mu $ overveje Aharonov-Bohm-effekten, der opstår pga. globale topologiske egenskaber af vektorpotentialet. Der er stadig en anden grund til, at målerinvariansion gør livet let, hvilket reducerer fotonens frihedsgrader i den såkaldte kovariant eller $ R_ \ xi $ gauge, kausalitet osv. I det væsentlige bliver anvendeligheden af målerinvarians ikke helt tydelig, indtil man begynder at prøve at arbejde gennem kvantefeltsteori. : D

Kommentarer

• @ user122066 For fremtidig reference, hvis du har brug for at slå et symbol op, se dette tex.SE-spørgsmål . Men kun visse (La) TeX-kommandoer understøttes i MathJax. Se MathJax-dokumentationen for en liste.
• For al MathJax-reference skal du kontrollere dette: MathJax grundlæggende vejledning og hurtig reference
• @ user122066: du skrev: ” Nu er det en helt afgørende egenskab ved moderne fysik og vi kan meget godt gå tabt uden det! ” Jeg tror, du overdriver her, og det er det, der gør sådan en sætning ” skræmmende “. Der er intet bevis for, at vi kun må arbejde med ” gauge-teorier “. Andre tilgange er bare uudforsket.
• @VladimirKalitvianski fair nok. Der er rekursionsrelationer relateret til S-matrixen, der undgår målere, men det ‘ er meget svært at forestille sig, at noget bliver opdaget, der gør konflikt lettere end måleinvarians. Du har dog helt ret. Jeg sletter denne del
• (Også nyttig til TeX-symbolopslag – Detexify .)

Disse beregninger afhænger ofte kun af forskellen mellem to værdier, ikke de konkrete værdier i sig selv . Du er derfor fri til at vælge et nul efter din smag. Er dette et eksempel på måleinvarians i samme forstand som eksemplerne ovenfor?

Ja, det er faktisk i den mest generelle definition af målerinvarians, det er, hvad fysikere kalder en global gauge invariance . Mere om det nedenfor.

Hvis jeg skulle skrive et sætningssvar på din titel, ville det være dette:

Gauge invariance er den veldefinerede fysiske lov under et kort over kort, der kondenserer et konfigurations- / parameterrum / koordinater til et fysisk system til et sæt ækvivalensklasser af fysisk ækvivalente konfigurationer.

Dette er i samme forstand, at f.eks. coset-produktet er veldefineret under kortet, der kvoterer væk fra en gruppes normale undergruppe. Konfigurationens fysik er uafhængig af valget af ækvivalensklassemedlem .

I sine tætteste udtryk er gauge invariance simpelthen en påstand om, at der er redundans i en matematisk beskrivelse af et fysisk system. Ellers har systemet en symmetri , en invarians i forhold til en gruppe transformationer.

En global gauge symmetri er en, hvor konfigurationsområdet er et simpelt kartesisk produkt ( dvs. et trivielt fiberbundt) af sættet med fysisk forskellige ækvivalensklasser og et redundant parameter, som med din forskel mellem to værdier eksempel. Hvis den fysiske beskrivelse er en Lagrangian beskrivelse, er det her Noether s sætning kommer frem og identificerer bevarede størrelser, en for hver sådan overflødig parameter.Målergruppen, dvs. gruppen af symmetrier, påvirker alle ækvivalensklasser (fibre) ens. Subtraktion af et konstant potentiale fra et elektrostatisk potentiale er sådan en symmetri og et stort fremskridt for Corvid Civilization, da det lader krager sidde på højspændingsstrømlinjer og med glæde skyde brisen sammen, diskutere deres seneste tanker om målerteorier og erklære at ” Aldrig mere!” skal vi frygte, at den globale tilføjelse af 22kV til det elektrostatiske potentiale kan ændre fysikken i det system, vi tilhører.

Men når fysikere normalt taler om en målerteori, betyder de en, hvor symmeturgruppen kan handle på en mere generel måde med et andet gruppemedlem, der handler på hvert punkt i konfigurationsområdet. Det tilsvarende fiberbundt er ikke længere trivielt. Selvom du ønskede et enklere eksempel end elektrodynamik, tror jeg ikke, der er en. Fasen, der tilføjes til elektronbølgefunktionen, kan være en hvilken som helst glat funktion af koordinaterne, og de ekstra termer, der opstår fra Leibniz-reglen, anvendes på derivaterne i bølgefunktionens bevægelsesligning (Dirac, Schrödinger) er nøjagtigt gennemblødt i den lukkede del af EM-potentialet. I øvrigt kan jeg som en side altid gerne visualisere EM-potentialet i Fourier-rummet, hvilket vi kan gøre med rimelige begrænsninger ( f.eks et postulat, som vi f.eks. Kun tænker på tempererede distributioner) , fordi den rumlige del af den overflødige del af firepotentialet derefter er dens komponent langs bølgevektoren ( ie tænkt som en 3-vektor), og kun den komponent, der er normal for bølgevektoren, har fysisk betydning: det er den eneste del, der overlever $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Der er to ting, jeg mener, du skal tage fra EM-eksemplet:

1. Selvom det praktisk taget fører til en hel del yderligere kompleksitet, er det begrebsmæssigt kun et lille spring fra dit enkle globale gauge symmetriske eksempel; vi tillader simpelthen symmetrierne at handle lokalt i stedet for at handle på alle konfigurationsrumspunkter ligesom;

2. Hvis vi tager en føring fra den eksperimentelle virkelige elektromagnetisme, postulerer vi, at denne målevariation er m kunne være relevant mere generelt, og så ser vi dets tilstedeværelse i andre fysiske fænomener. Dette er intet andet end en handling, der er motiveret af en fornemmelse. Eksperimentelt finder vi, at dette er en frugtbar ting at gøre. I fysik er der ingen dybere indsigt end eksperimentelle resultater.

Endelig skal jeg nævne, at måle- / fiberbundtbegreber også er nyttige, når vi kunstigt erklærer ækvivalensklasser for konfigurationer, der er baseret på behovene i vores problem , selvom der er en fysisk forskel mellem ækvivalensklassemedlemmer. Et af de smukkeste eksempler på denne måde at tænke på er Montgomery “s ” Gauge Theory of the Falling Cat “. Vi studerer ækvivalensklasser af katkonfiguration, der er ækvivalent modulo korrekt euklidisk isometri til at formulere et katformrum som i standardbehandlingen hvor katten betragtes som en to-sektions robot med vridningsfri kugleledd viser sig at være den ægte projektivt plan $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Hele konfigurationsområdet er derefter et fiberbundt med formrummet $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ som base og gruppen $ SO (3) $ definerer retninger som fiber Katten kan vende, mens den bevarer vinkelmoment ved hjælp af cykliske deformationer af sin egen form på grund af krumningen af forbindelsen, der opstår som begrebet parallel transport, der er underforstået ved bevarelse af vinkelmoment. Svar

Svar

Svar

Svar