Jeg læste, at kanonisk kommuteringsforhold mellem momentum og position kan ses som Løg algebra fra Heisenberg-gruppen . Mens jeg forstår, hvorfor kommuteringsforholdene mellem momentum og momentum, momentum og vinkelmoment osv. Stammer fra Lorentz-gruppen, kommer jeg ikke helt, hvor Heisenberg-gruppens fysiske symmetri stammer fra.
Enhver forslag?
Kommentarer
- Relateret: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Svar
Du vil måske gerne se:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf kapitel 13,
dvs. forelæsningerne “Kvantemekanik til matematikere: Heisenberg-gruppen og Schrodinger-repræsentation “af Peter Woit, hvor Heisenberg-gruppens betydning diskuteres detaljeret. Men dens fysiske betydning er IKKE som en gruppe symmetrier af den fysiske situation. Så vær forsigtig med stramme analogier mellem det kanoniske kommuteringsforhold og det endelige ( sig $ n $ ) dimensionel Hiesenberg Lie-gruppe $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Tinget på RHS for forholdet $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ i den endelige dimensionelle algebra $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ er IKKE identitetsmatrixen – det er simpelthen noget, der pendler med alt andet i Lie-algebraen. Det var Hermann Weyl, der påpegede, at det kanoniske kommuteringsforhold ikke kan henvise til en endelig dimensionel Lie-algebra: i sådanne algebraer er en Lie-parentes $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (mellem firkantede matricer) har nul spor, men identitetsmatricen (eller et skalarmultipel, som på RHS af CCR) har ikke. Man skal videregive til operatører på uendelige dimensionelle Hilbert-mellemrum ( $ f.eks. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) for at finde fuld realisering af det kanoniske kommuteringsforhold.
En anden måde at forstå, at opførelsen af den endelige dimensionelle matrix Heisenberg Lie algebra er radikalt forskellig fra CCR, er selve usikkerhedsprincippet. Produktet af RMS-usikkerheder til simulære målinger fra to ikke-pendlende observationer $ \ hat {a}, \ hat {b} $ givet en kvantetilstand $ \ psi $ er afgrænset nedenfra af det positive reelle tal $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ hvor $ \ venstre [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (se afsnit 10.5 i udgave 3 af Merzbacher “Quantum Mechanics”). Hvis $ c $ er en endelig firkantet matrix, og som i Heisenberg-algebraen er den ikke af fuld række rang, er der visse tilstande (de i $ c $ “s nullspace) hvor usikkerhedsproduktet kan være intet. Så den endelige dimensionelle matrixalgebra kan ikke model Heisenbergs fysiske postulat.
Se også Wikipedia-artiklen om Heisenberg-gruppen.
Kommentarer
- Mindre kommentar til svaret (v2): Tegnet i den viste Schroedinger-repræsentation af $ p $ er ikke det konventionelle tegn.