Hvor lang tid tager det at fordampe en kop vand?
For at besvare dette spørgsmål antager jeg nogle grundlæggende parametre, og at vandet blæses af en ventilator for at komme til et skøn:
- Vandmængde: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Vandets øverste overfladeareal: $ A_ \ mathrm s = 0,05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Rumtemperatur: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Vandtemperatur: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Relativ fugtighed af vand i rumluft: $ 50 \ \% $
- Varmetransfers konvektionskoefficient fra en ventilator / vind: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Lad “s antag, at vandet er i termisk ligevægt med det omgivende rum (et stort varmebeholder), så der ikke er nogen opdrivende konvektion.
Jeg starter med den fordampende massestrøm fra
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
og $ h_m $ er masseoverføringskoefficienten, som findes fra varme- og masseoverføringsanalogen:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
hvor $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ er Lewis-nummeret. Så den fordampende massestrømningshastighed er
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Vi kan estimere densitetsforskellen ved at bruge den relative luftfugtighed ved ~ $ 50 \ \% $ for et normalt rum:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ times 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8.315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ gange 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Lewis-nummeret beregnes ud fra luft termisk diffusivitet $ \ alpha = 2.2 \ times 10 ^ {- 5} $ og den binære diffusionskoefficient $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ til diffusion af vanddamp gennem luft er givet ved en eksperimentel sammenhæng (med $ p $ i $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ gange 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2.072}} {p} = 1.87 \ gange 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2.5 \ gange 10 ^ {- 5} $$
Lewis-nummeret er derfor $ Le = \ frac {2.2} {2.5} = 0,88 $ . Massestrømningshastigheden fra overfladen er
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ gange 0,012} {1,2 \ gange 1000 \ gange 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ gange 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Nu antager jeg, at denne massestrøm forbliver konstant med tiden, da vandet er i termisk kvasi-ligevægt med rummet (et stort temperaturreservoir) og forbliver derfor ved konstant temperatur og ændrer således ikke vandets egenskaber.
Massebevarelse på vandet giver
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Integration finder vi, at tidshastigheden for masseændring er lineær:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
For at fordampe fuldt ud, $ m (t) = 0 $ og
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1.2 \ times 0.2} {5.5 \ times 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1.2 \ \ mathrm h $$
Det tager 1,2 timer at fordampe vandet fuldt ud.
1 time til fordampning ser ud ret hurtigt, men jeg brugte en stor konvektionskoefficient fra starten. Nogle tanker / spørgsmål:
- Hvad hvis der ikke var nogen tvungen konvektion fra en fan? Vi har ikke flydende naturlig konvektion eller stråling, da vandet er i termisk ligevægt med rummet. Hvad er fordampningens natur i dette tilfælde, og hvordan kan vi beregne massetabet?
- Jeg antog, at fordampningsmassetab er konstant gennem tiden, da vandet er i termisk ligevægt med rummet (et stort reservoir) og ikke ændrer temperatur. Er dette en god antagelse?
Kommentarer
- Jeg har ikke ' t kontrolleret din aritmetik, men din tilgang er korrekt. Med hensyn til spørgsmålet, hvis der absolut ikke er nogen konvektion, så som i værste fald ville du have et lige diffusionsproblem.Det ville betyde, at du ville have koncentrationsopbygning i luften omkring bægerets overflade, og omfanget af dette område ville stige med tiden med 100% fugtighed på overfladen og 50% fugtighed langt fra overfladen.
- @ChetMiller Så det ville være som et semi-uendeligt massediffusionsproblem med lignende styrende ligninger og løsninger på det varme-overførende semi-uendelige problem? Massestrømmen ville så være tidsafhængig, korrekt?
- Som en praktisk sag tror jeg, at det er ret vanskeligt at prøve at beregne fordampningshastigheden nøjagtigt. Der er generelt et tyndt, stillestående luftlag lige over vandoverfladen, der har en meget højere relativ luftfugtighed end RH i rummet, og det tynde lag er en vigtig fordampningshastighedsbegrænsende faktor. Don ' tænk det ' er en nem sag at nøjagtigt beregne RH eller tykkelse af laget, eller hvordan disse to parametre kan ændre sig som en funktion af mængden af luftstrøm over overfladen. Fordampningshastigheden kan også være følsom over for lille olie eller andre film på overfladen.
- Sikker på. Det ville sandsynligvis skulle løses numerisk, medmindre du ville være villig til at tilnærme vandoverfladen som et lille cirkulært område indlejret i et uendeligt plan under det semi-uendelige halvrum. Jeg ' er sikker på, at Carslaw og Jaeger har løsningen på dette analoge varmeoverføringsproblem.
- @SamuelWeir Drew ' s opløsning tager højde for koncentrationsgrænselaget over overfladen. Hans masseoverførselskoefficient er lig med diffusionskoefficienten divideret med tykkelsen af grænselaget.