Hvordan beregnes højden på et hcp-gitter?

Vi prøver det ved hjælp af lighederne mellem hcp og ccp. Her ved vi, at $ hcp $ og $ ccp $ har lignende gitter bortset fra det faktum, at $ hcp $ er ABAB-type, mens $ ccp $ er ABCABC-type. Derfor ved vi også, at deres pakningsfraktion $ (\ phi) $ er den samme og $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Nu som du nævnte Volumen af hcp-gitter $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Der er 6 atomer i alt i hcp. Derfor $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Forenkling af dette får vi højden på hcp gitter $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Kommentarer

• Vi får, at deres pakningsfraktion er ens efter at have vurderet volumen fra højde osv. Dit svar fungerer baglæns.

For at beregne højden på en enhedscelle skal du overveje et tetraedrisk tomrum i et sekskantet lukket pakningsarrangement. Det kan forestilles som 3 faste kugler, der berører hinanden, og i centrum har du en anden kugle stablet over dem. En interaktiv version kan ses på dette websted . Situationen ser sådan ud:

Hvis du slutter dig til midten af disse fire sfærer, får du en tetraeder. Det er dybest set en pyramide med en trekantet base. Jeg antager, at hver kant af vores tetraeder er lig med $ a $.

Nu har du en pyramide ($ ABCD $) med en ligesidet base ($ \ Delta BCD $), jeg vil gerne have dig til at droppe en vinkelret fra det højeste punkt ($ A $) til den midterste ($ G $) trekantede base. Hvis du følger mig korrekt, har du en figur som denne:

Alt hvad vi skal gør nu er at beregne længden $ AG $. Til dette skal du blot bruge den pythagoriske sætning i $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Selvom vi ved, at $ AD = a $, forbliver siden $ GD $ ukendt. Men det er let at beregne. Pointen $ G $ er centrum af $ \ Delta BCD $. Således er længden $ GD $ lig med $ a / \ sqrt {3} $. Når vi tilslutter værdierne i vores første ligning, får vi $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Men bemærk, dette er halv højden på vores enhedscelle. Den krævede højde er således $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

I den sekskantede tættest pakkede struktur $ a = b = 2r $ og $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , hvor $ r $ er atomens radius af atomet. Siderne af enhedscellen er vinkelret på basen og dermed $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

For et nærmeste -pakket struktur, er atomerne i hjørnerne af bunden af enhedscellen i kontakt, således $ a = b = 2 r $ . Højden ( $ c $ ) af enhedscellen, som er mere udfordrende at beregne, er $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Lad kanten af den sekskantede base være lig med $ a $

Og sekskantens højde er lig $ h $

Og kugleradien er lig $ r $

Det første lags midterkugle ligger nøjagtigt over tomrummet i 2. lag B.

Den midterste kugle og kuglerne i 2. lag B er i berøring

Så i $ \ Delta PQR $ ( en ligesidet trekant):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Tegn $ QS $ tangens ved punkter

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Derfor beregnes pakningseffektiviteten af hcp arr angement, enhedens cellehøjde tages som $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

FRA

Kommentarer

• Hvad betyder prikkenes trekant?
• Hvorfor er vinklen QRS 30 grader?