Hvis Standard Normal PDF er $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
og CDF er $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
hvordan bliver dette til en fejlfunktion på $ z $?
Kommentarer
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Jeg så dette, men det starter med ERF allerede defineret.
- Nå, der ' en definition af erf og en definition af Normal CDF .. Forholdet, der kan afledes af nogle rutinemæssige beregninger, vises som til hvordan man konverterer mellem dem, og hvordan man konverterer mellem deres inverser.
- Undskyld, jeg kan ikke ' ikke se mange detaljer. For eksempel er CDF fra -Inf til x. Så hvordan går ERF fra 0 til x?
- Er du bekendt med beregningsteknikken for ændring af variabel? Hvis ikke, lær hvordan du gør det.
Svar
Fordi dette kommer ofte op i nogle systemer (for f.eks. Mathematica insisterer på at udtrykke Normal CDF i form af $ \ text {Erf} $), det er godt at have en tråd som denne, der dokumenterer forholdet.
Efter definition er fejlfunktionen
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Skrivning $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ indebærer $ t = z / \ sqrt {2} $ (fordi $ t $ ikke er negativ), hvorfra $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Slutpunkterne $ t = 0 $ og $ t = x $ bliver $ z = 0 $ og $ z = x \ sqrt {2} $. For at konvertere den resulterende integral til noget, der ligner en kumulativ fordelingsfunktion (CDF), skal den udtrykkes i form af integraler, der har nedre grænser på $ – \ infty $, således:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Disse integraler i højre størrelse er begge værdier for CDF i den normale normalfordeling,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Specifikt,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Dette viser, hvordan man udtrykker fejlfunktionen i form af Normal CDF. Algebraisk manipulation af det giver let Normal CDF med hensyn til fejlfunktionen:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Dette forhold (alligevel for reelle tal) vises i plot af de to funktioner. Graferne er identiske kurver. Koordinaterne til fejlfunktionen til venstre konverteres til koordinaterne for $ \ Phi $ til højre ved at gange $ x $ koordinaterne med $ \ sqrt {2} $, tilføje $ 1 $ til $ y $ koordinaterne og derefter dividere $ y $ koordinaterne med $ 2 $, hvilket afspejler forholdet
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
hvor notationen eksplicit viser disse tre operationer af multiplikation, tilføjelse og division.
Kommentarer
- Jeg tror $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ er det rigtige måde at relatere dem på under hensyntagen til middelværdien og standardafvigelsen.