Hvordan fungerer opdrift?

Grundlæggende idé

Forestil dig et dybt hav af vand i dit sind. Forestil dig en søjle af vandet, der går fra overfladen ned til en dybde $ d $. Den vandkolonne har en vis vægt $ W $. Derfor er der en nedadgående styrke på $ W $ på den vandkolonne. Du ved dog, at søjlen med vand ikke accelererer, så der skal være en opadgående kraft af størrelsen $ W $, der skubber på denne søjle. Det eneste under søjlen er mere vand. Derfor skal vandet på dybden $ d $ skubbe op med kraft $ W $. Dette er essensen af opdrift. Lad os nu gøre detaljer.

Detaljer

Vægten $ W $ for en søjle med vand i tværsnitsareal $ A $ og højde $ d $ er

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

hvor $ \ rho _ {\ text {water}} $ er tætheden af vand. Dette betyder at vandtrykket ved dybden $ d $ er

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Antag nu at du lægger et objekt med tværsnitsareal $ A $ og højde $ h $ i vandet. Der er tre kræfter på objektet:

1. $ W $: Objektet “s egen vægt.
2. $ F _ {\ text {over}} $: Kraften af vandet over objektet.
3. $ F _ {\ text {nedenfor}} $: Kraften af vandet under objektet.

Antag, at objektets bund er på dybden $ d $. Derefter er toppen af objektet på dybden $ d-h $. Ved hjælp af vores resultater fra før har vi

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {ovenfor}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Hvis objektet er i ligevægt, er det accelererer ikke, så alle kræfter skal balancere:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {ovenfor}} & = & F _ {\ text {nedenfor}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

hvor vi i den sidste linje definerede objektets volumen som $ V \ equiv h A $. Dette siger, at betingelsen for ligevægt er, at genstandens vægt skal være lig med dens volumen gange tætheden af vand. Med andre ord skal objektet fortrænge en mængde vand, der har samme vægt som objektet. Dette er den sædvanlige opdriftslov.

Fra denne beskrivelse tror jeg, at du kan udvide til tilfældet med luft i stedet for vand og vandret i stedet for lodret trykgradient.

Jeg tror, at tryk, der virker på den lettere ting overflade, har noget at gøre med det, men det handler om det.

Dette er faktisk begyndelsen og slutningen af HELE historien. Dette er i teorien alt du har brug for at vide om opdrift. Lad os se, hvordan denne erklæring afspiller sig, og hvordan den fører til de andre viden, du har hentet om opdrift.

Du kan bare forestille dig et frit legemsdiagram for den flydende / nedsænkede krop. De eneste kræfter på det er trykket, overalt normalt til kroppens overflade, og kroppens vægt.

Nettokraften på kroppen fra den omgivende væske er så:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

hvor vi opsummerer trykkræfterne $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $, der virker på elementerne i området $ \ mathrm {d} S $ i retning af enheden normal $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ som en funktion af position $ \ mathbf {r} $ over grænsefladeoverfladen $ S $ mellem væsken og kroppen. Det er alt der er ved det. Det er selvfølgelig svært at se fra (1) alene, hvad der vil ske med en krop, der er gennemsyret af væske, så lad os gå videre til mere praktiske svar.

Vi laver et lille trick: det viser sig at du altid kan antage for opdriftsproblemer, at overfladen $ S $ i (1) er en lukket grænse af et volumen (det er selv når du håndterer problemer som både, der ideelt set er ikke fuldstændig nedsænket og den lukkede grænse synes ved første øjekast uanvendelig). Vi danner først det indre produkt af $ \ mathbf {F} $ med en vilkårlig enhedsvektor $ \ mathbf {\ hat {u}} $, og derefter, i betragtning af den lukkede overflade, kan vi anvende divergenssætning til (1) for volumen $ V $ inden for den lukkede overflade $ S = \ partial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ partial V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

som, givet enhedsvektoren $ \ mathbf {\ hat {u}} $, er vilkårlig, betyder:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

og vi skal forestille os trykfeltet $ p (\ mathbf {r}) $ at ville være til stede i væsken i overfladen, hvis væsken ikke blev fortrængt af kroppen, der optog volumen $ V $. Fra (2) kan vi se straks det andet stykke kn ejendom, som du har hørt om:

balloner får deres “følelse af ned” fra et tryk . [fed mine]

det vil sige, der er ingen netto flydende kraft på kroppen, medmindre trykket $ p $ varierer fra sted at placere. Ellers er $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ $ identisk intet.

Hvis du ikke er helt fortrolig med divergenssætningen, så tænk på og analyser en nedsænket terning. I en væske, hvor trykket ikke varierer med positionen, er kraften på hver flade nøjagtigt afbalanceret af den modsatte kraft på den modsatte flade. En anden sag, der giver intuition, er en kugle i en væske med et konstant tryk overalt: kraften på ethvert punkt er nøjagtigt afbalanceret af den modsatte kraft på det antipodale punkt. Argumentet for divergenssætning lader dig simpelthen udlede den generelle konklusion som denne, som du kan lave for symmetriske objekter.

Lad os nu gå videre til et trykfelt, der vil blive vant til dig som en dykker; tager $ \ mathbf {\ hat {z}} $ retningen ned, er trykfeltet i en stadig væske, der ligger på overfladen af en planet med radius meget større end dybderne, vi skal overveje:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

hvor $ \ rho $ er væsketætheden, $ g $ tyngdeacceleration og $ p_0 $ trykket ved $ z = 0 $. Hvis vi tilslutter dette til (2) får vi:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

hvor $ V_f $ er volumenet af fortrængt væske. Dette er selvfølgelig Archimedes “-princippet; det holder for væskeregioner, der er små nok til, at trykvariationen er en lineær funktion af positionen. Selvom det ser ud til at sige “den fortrængte væske skubber tilbage” som mange vage forklaringer på opdriftstilstanden, men dette er vrøvl. Den fordrevne væske er ikke engang der: Princippet er kun resultatet af at anvende matematiske tricks til at oversætte det grundlæggende princip, der er indbegrebet af din tekst, som jeg citerede i første linje i dette svar og i (1) og ” fortrængt flydende tilbagetrækning ”blot et mindesmærke for at huske princippet.

Yderligere to kommentarer er i orden:

1. For det første skal du bemærke, at svaret i (4) er uafhængigt af $ p_0 $, så hvis kroppen ikke er helt nedsænket (som et arbejdende bådeskrog), så kan vi simpelthen tage krydset mellem volumen og væske til at være volumen $ V $; krydset mellem væskens overflade og volumen afgrænser derefter det reducerede volumen og kraftbidraget på toppen er derefter intet (da vi vilkårligt kan indstille $ p_0 = 0 $ uden at ændre vores resultater).
2. For det andet igen, hvis du er ukomfortabel med divergenssætningen, skal du udføre analysen for en terning med sine kanter lodrette og vandrette som et klarende eksempel. Selvom trykkraften varierer på tværs af de lodrette overflader, er trykfladerne på hver lodrette flade stadig nøjagtigt modsat af dem på den modsatte flade. Nettokraften er forskellen mellem kraften på terningens bund og topflader, som ved (3) er den kraft, der beregnes af Archimedes-princippet.

Som en dykker ved du, at trykket stiger, når du går dybere.

Forestil dig en cylinder, der holdes lodret under vand. Kraften på toppen af cylinderen er tryk gange areal (pr. Definition af tryk). I bunden af cylinderen er området det samme, men kraften er større (dybere, mere tryk). Forskellen mellem de to er opdriftskraften.

Når du har et objekt med “enhver” form, kan du tænke på det som at være lavet af uendeligt mange tynde cylindre (sugerør med ender lukket, hvis du vil ). Du kan nu gentage beregningen for hver af disse. Det viser, at dette holder, selv når objektet er sjovt.

Det sker således, at forskellen er lig med vægten af det fortrængte vand – men ovenstående er mindre abstrakt, tror jeg.

Husk altid dit sikkerhedsstop!

Kommentarer

• Tak @floris! Ja, det giver mening nu. Det problem, jeg havde, var med luft, hvor jeg troede, at der er en så lille ændring i tryk på tværs af et objekt, at det ikke kunne ‘ ikke forårsage tilstrækkelig opdrift. Men når jeg tænker i stedet for at massen skubber på toppen og massen skubber i bunden (som du siger), virker det helt rimeligt. Og selvfølgelig er den skubbe masse, hvad ” pres “, så forklaringen på trykgradienten skal også være korrekt. Tak 🙂

Nå, jeg har altid tænkt på det som tyngdekraft på et ikke – ligevægtstilstand.

Prøv at se 2 forskellige kugler oven på den anden falde ned fra himlen (i jordatmosfære). Hvis den lettere kugle er oven på den tungere kugle, vil den lettere kugle adskille fra den tungere kugle. Hvis den tungere kugle er på toppen af den lettere kugle, har vi to muligheder:

1. Ligevægtstilstand – Betydning at den tungere kugle er direkte oven på den lettere kugle – Der er ingen kræfter, der fremskynder bolden sidelæns – lige ned. Kuglerne falder som en.
2. Den tungere kugle er lidt sidelæns til den lettere kugle (de rører stadig). I dette tilfælde vil den tungere kugle rul sidelæns af den lettere kugle og vil gå under den lettere kugle (accelererer hurtigere).

Prøv nu at forestille dig dette med millioner af kugler, der falder gennem himlen. Det er lidt logisk for de tungere går under lighen ter ones, do not it t?

(Dette er ikke virkelig et “fysik” svar, det er mere bare et simpelt eksempel på det meget grundlæggende koncept)

Kommentarer

• Begge kugler accelereres i samme hastighed. Hvorfor adskiller de sig?
• Trækræfter bremser den lettere bold

Tryk i sin enkleste forstand er bare en kraft, der virker over et område. Forestil dig alle partiklerne i luften i bilen. Luftens tryk er virkelig et mål for den gennemsnitlige kraft, som disse partikler skubber mod hinanden med. Når vi bringer en heliumballon til at flyde i bilen, skubber luftpartiklerne mod heliumpartiklerne, og heliumpartiklerne skubber tilbage på luftpartiklerne.

At komme ind i en lille smule statisk teknik her; Heliumatomernes kræfter skubber alle forskellige retninger, men da de alle er indeholdt af ballonen og alle skubber med den samme mængde kraft, kan vi antage, at disse kræfter alle annullerer hinanden og de eneste kræfter, der påvirker ballonen som en helhed er ekstern. På dette tidspunkt uden kræfter, der virker på den, kunne ballonen skubbes frit i enhver retning med stort set ingen kraft. Luften skubber den dog ikke overalt, fordi luften også skubber ind på ballonen fra alle retninger og derfor også annullerer sig selv.

Nu beregnes kraft som Mass * acceleration (akaen bowling mod hovedet vil ramme dig hårdere end en marmor, der bevæger sig med samme hastighed, fordi den har mere masse og derfor mere kraft). Acceleration på molekylært niveau er direkte proportional med temperaturen. Da temperaturen på alle gasser i bilen er den samme, kan vi fjerne dette, og det eneste, der påvirker, hvor meget kraft partiklerne skubber med, er massen af partiklerne.

At komme tilbage til vores bil : Tyngdekraften trækker ned på alle partiklerne i bilen med den samme konstante acceleration, 9,8 m / s ^ 2. Luftpartiklerne trækkes ned med en kraft svarende til deres masse * 9,8m / s ^ 2. Heliumpartiklerne trækkes også ved den samme acceleration, men da deres masse er så meget mindre end ilt, kvælstof og andre partikler i luften, er deres kraft, der går ned, meget mindre, og de skubbes tilbage op af jo mere kraftige luftpartikler. Dette er grunden til, at ballonen flyder.

Derefter begynder bilen at bevæge sig. Efter inertiloven (på genstand i hvile har tendens til at forblive i ro, indtil den bliver handlet af en ekstern styrke), selvom bilen begynder at bevæge sig fremad, forbliver gaspartiklerne på plads. Forestil dig en kugle, der flyder over dit dashboard, der forbliver på denne absolutte placering, uanset hvordan du bevæger dig. Træk en fod fremad, og nu er den over midterkonsollen. Endnu et par fødder sidder i din bagsæde. Dette er præcis, hvad der sker med alle gaspartiklerne i bilen. Nu er alle partikler flyttet bag på køretøjet, og der er meget mindre foran. Da der nu er flere luftpartikler bag ballonen til at skubbe mod den, end der er bag den, fjerner kræfterne ikke længere hinanden, og ballonen skubbes fremad.

Forhåbentlig hjælper dette med at forklare det tydeligere . Undskyld, dette var ret ordentligt, lad mig det vide, hvis der er noget, der skal forklares bedre!

Kommentarer

• Noget rystende fysik derinde … for eksempel en bowlingkugle rammer hårdere end en marmor, der bevæger sig med samme hastighed, fordi den bærer mere momentum, og derfor stopper den en større ændring i momentum, hvilket betyder, at der blev anvendt mere kraft, hvis stop begge sker i samme tidsinterval. Cirka halvdelen af svaret er fint, og generelt er det ‘ mere eller mindre korrekt, men det går glip af flere (vigtige) detaljer.
• Sandt nok, det ‘ har været et stykke tid plus forsøgte at forenkle så meget som muligt. Du er velkommen til at redigere efter behov.