Hvordan kan jeg tegne den komplekse graf på $ x ^ x $ i Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Her “er en visning, der viser, hvordan grafen begynder at spiral for negative $ x $ værdier, hvis vi tager de komplekse værdier i betragtning.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Faktisk, hvis vi skriver $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, er dette n generelt generelt til $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; hver $ 2i \ pi k $ repræsenterer en anden gren af den komplekse logaritme. I denne sammenhæng ser vi, at denne graf bare danner en spiral af en familie af spiraler.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

I elementære klasser kan du muligvis se påstanden om, at $ (p / q) ^ {p / q} $ er defineret for $ p $ negativ og $ q $ ulige og positive. Således, inklusive disse punkter, kan grafen se sådan ud:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Fra det komplekse perspektiv opstår prikkerne som pletter, hvor en af spiraltrådene punkterer $ x $ – $ z $ -planet.

Kommentarer

• Jeg valgte yulinlinyu ' s som svaret, fordi det besvarede mit spørgsmål direkte og kortfattet – men Mark Mcclure ' s svar går ud over – og er den virkelige juvel i denne tråd!

Som yulinyu har påpeget ud, vil noget som det følgende give dig det ønskede plot.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Du er muligvis også interesseret i dette fremragende svar af Simon Woods for at oprette en graf over plottet over det komplekse domæne. Brug af hans funktion og evaluering af det følgende giver dig et smukt billede

domainPlot[#^# &] 

Kommentarer

• I et øjeblik troede jeg, jeg røget …. men nej
• Træner du dine hypno-kræfter?

Du kan bruge det nye i M12-funktioner ReImPlot og ComplexPlot til komplekse visualiseringer af en funktion . Brug af ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

og ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Også

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

udfører jobbet i version 12.0.