Hvordan kan lydens hastighed øges med en stigning i temperaturen?

Lydens hastighed er angivet af:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

hvor $ P $ er tryk og $ \ rho $ er densiteten af gassen. $ \ gamma $ er en konstant kaldet adiabatic index . Denne ligning blev først udtænkt af Newton og derefter modificeret af Laplace ved at introducere $ \ gamma $ .

Ligningen skulle give intuitiv mening. Densiteten er et mål for, hvor tung gassen er, og tunge ting svinger langsommere. Trykket er et mål for, hvor stiv gassen er, og stive ting svinger hurtigere.

Lad os nu overveje effekten af temperaturen. Når du ”opvarmer gassen, skal du beslutte, om du” vil holde lydstyrken konstant og lade trykket stige, eller holde trykket konstant og lade lydstyrken stige, eller noget derimellem. Lad os overveje mulighederne.

Antag at vi holder lydstyrken konstant, i i hvilket tilfælde trykket stiger, når vi opvarmer gassen. Det betyder i ligning (1) $ P $ stiger, mens $ \ rho $ forbliver konstant, så hastigheden af lyden går op. Lydens hastighed øges, fordi vi “effektivt gør gassen stivere.

Antag nu, at vi holder trykket konstant og lader gassen ekspandere, når den opvarmes. Det betyder i ligning (1) $ \ rho $ falder, mens $ P $ forbliver konstant og igen hastigheden af lyd stiger. Lydens hastighed stiger, fordi vi “gør gassen lettere, så den oscillerer hurtigere.

Og hvis vi tager et mellemløb og lader trykket og lydstyrken stige, så $ P $ øges og $ \ rho $ falder, og lydens hastighed stiger igen.

Så hvad vi end gør , øger temperaturen lydens hastighed, men det gør det på forskellige måder afhængigt af, hvordan vi lader gassen ekspandere, når den opvarmes.

Ligesom en fodnote adlyder en ideel gas ligningen af tilstand:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

hvor $ n $ er antallet af mol af gassen. (Molær) densitet $ \ rho $ er bare antallet af mol pr. Volumenhedsenhed, $ \ rho = n / V $ , hvilket betyder $ n = \ rho V $ . Hvis vi erstatter $ n $ i ligning (2) får vi:

$$ PV = \ rho VRT $$

som omarrangeres til:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Udskift dette i ligning (1), og vi får:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

så:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

hvilket er hvor vi kom ind. Imidlertid skjuler ligningen det der virkelig foregår, derfor din forvirring.

Eksperimentelt er proportionalitetskonstanten for ovenstående ligning ca. . 20.

Kommentarer

• Ville bare fortælle dig, at dit svar stadig hjælper folk 6 år senere … Jeg ‘ har brugt cirka en time på at finde en intuitiv forklaring på denne formel, og du ‘ har opsummeret alt meget godt i et par sætninger 🙂

Fantastisk spørgsmål. Det korte svar er, at din intuition (om tætte ting, der har hurtigere lydhastigheder) sandsynligvis er påvirket af forskellige materialer ved samme temperatur og er plettet af faste stoffer, når problemet her virkelig handler om gasser, som er forskellige.

Lad os se på nogle data:

Luften er sparsom og har en lav lydhastighed på 760 mph. De tungere ting som kobber er tætte og har en hurtigere lydhastighed.Stål har en lydhastighed på 10.000 mph !

Så din intuition er ikke så dårlig, ikke?

Hvad med kold luft versus varm luft? Den kolde luft er tættere, men har en lavere lydhastighed! Her er hvor vi kan se dit dejlige paradoks.

Det viser sig, at frastødning på grund af eksterne kompressionsbølger (hvad du kaldte mekaniske bølger) i et fast stof som et metal er skabt af forskellige mekanismer end en komprimerbar gas. En trykbølge i et fast stof komprimerer relativt stationære ioner i et gitter. Gitteret er meget stærkt, og atomerne bevæger sig ikke, men de kan vibrere. Hvis du klemmer noget stål, komprimerer du dette gitter lidt, men de elektriske felters funktionelle afhængighed i dette gitter er ret kompleks. til spørgsmålet her er et forhåbentlig indlysende resultat, at afhængigheden af temperatur ikke vil være for stærk, da kraft (afstand) -funktionen bestemmer, hvor hurtigt en forstyrrelse bevæger sig gennem gitteret og den energi, du giver til atomerne i gitteret, der er vundet “t ændrer meget gitter-afstand-kraft-kurve-forholdet af interesse her.

En gas er et meget andet dyr, fordi der bare er en flok uafhængige partikler, der flyver rundt. Her er lydens hastighed grundlæggende et vægtet gennemsnit af de hurtigere gasmolekyler, der naturligvis bevæger sig med kvadratroden af energien / temperaturen.

I sammenligning med et fast stof er spørgsmålet om, hvad lydens hastighed i en gas er er helt trivielt. Læs th er eller dette eller for at få en idé om, hvor meget mere komplekse faste stoffer er. Hvis jeg kun gav fysikere atomegenskaberne (ikke ting som bulk-modulet) af et fast stof som kobber og også af en gas som O $ _ \ rm 2 $, ville de kun være i stand til at beregne, i det mindste med en simpel lommeregner, lydhastigheden i O $ _ \ rm 2 $.

En hurtig måde at rette din intuition på er at notere lydens hastighed i et fast stof med absolut nul i forhold til en gas. Kun sidstnævnte er nul. Faktisk er det derfor, at gasser ikke kan eksistere nær absolut nul. Molekylerne i en kold nok gas har ikke engang nok energi til at komme væk fra hinanden, så de skal være en væske eller et fast stof i stedet.

Forhåbentlig kan du nu se, at dine tidligere oplevelser virkelig kun gjaldt til forskellige materialer, ikke til individuelle materialer som en funktion af temperaturen.

Lydbølger spredes gennem et medium som resultat af kollisioner mellem molekyler. Ved højere temperaturer har molekyler større kinetisk energi, og når de bevæger sig hurtigere, opstår deres kollisioner med større frekvens, og de bærer lydbølger hurtigere. Større kinetisk energi = mindre inerti = øget hastighed.

Da lydbølger imidlertid er kompressionsbølger, der bevæger sig gennem et komprimerbart medium, afhænger deres hastighed ikke kun af mediumets inerti, men også af dets elasticitet.

Generelt, jo tættere sammen molekyler er, jo hurtigere vil de bære lydbølger. Selvom afstanden mellem molekyler har tendens til at stige, når et medium opvarmes, er dette relativt mindre vigtigt for lydens hastighed inden for et givet medium end den hurtigere bevægelse af molekylerne.

Jo højere temp. indebærer højere hastighed for molekylet, så det kolliderer med det næste molekyle på et hurtigere tidspunkt, selvom de er langt væk fra hvert. på den anden side er den lavere temp. betyder mindre hastighed, og så kan det også kollidere med sin nære nabo på længere tid. merci!

Vi ved, at temperatur og kinetisk energi er direkte proportional. Når temperaturen øges, øges luftmolekylernes kinetiske energi, og molekylerne bevæger sig hurtigere. På grund af hvilken lydudbredelse sker hurtigt, øges hastigheden.