Mit spørgsmål er, hvordan man beregner type II-fejl $ \ beta $?
-
Antag, at jeg vil teste $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (Jeg skal beregne type II-fejl $ \ beta $, så jeg skal rette en $ \ mu $, siger 1, i $ H_1 $).
-
Antag at fordelingen for $ H_0 $ er $ F_0 $, $ H_1 $ er $ F_1 $, hvor $ E [\ xi] = 0 $ hvis $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ hvis $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Nu opretter jeg en estimator for $ \ mu $, siger $ \ bar {X} _n $, og en teststatistik $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (lad os antage $ \ sigma $ er kendt).
-
Nu opretter jeg en afvisningsregel ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Type II-fejl beregnes som $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Mine spørgsmål er (vil bekræfte tre ting):
-
Ovenstående konstruktionslogik er korrekt, ikke?
-
Fordelingen i “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” er $ F_1 $, ikke?
-
[mest bryr sig om] $ S_n $ i “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” skal bruge $ F_0 $ til at beregne, ikke?
-
Jeg mener, uanset type I eller type II-fejl, jeg beregner, skal jeg altid bruge $ F_0 $ til at beregne teststatistikkerne, ikke?
-
Jeg mener, $ S_n $ er altid $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ i type I eller type II fejlberegning ation, men ikke $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ ved beregning af $ \ beta $, ikke?
-
Eller, dette burde ikke være et problem, fordi teststatistikker bare er en funktion af prøven og ikke bør omfatte parametre?
-
Kommentarer
- Type II-fejl er ikke at afvise nulhypotesen, når den er falsk, dvs. $ H_1 $ er sand. Jeg synes, du skal bruge $ F_1 $ til at beregne P, men ikke $ F_0 $, som du har skrevet $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Du kan også henvise til effektberegning, der er baseret på $ H_1 $ -parameteren, og Type II $ \ beta $ = 1-power
- Tak! Du har ret. Jeg begik en fejl. Det er $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ for type II-fejlen.
Svar
Betegn $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ være fordelingen under nulhypotesen og $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ under $ H_1 $, så du har en teststatistik $ X $, og du vil teste
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Den måde, du beskriver det på, vil du udføre en ensidig test, og du definerer den kritiske region i højre hale. Så efter at du har valgt et konfidensniveau $ \ alpha $, bruger du fordelingen $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ til at finde kvantilværdien $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ sådan at $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (jeg antager kontinuerlige fordelinger). Superindex $ (0) $ angiver, at sandsynlighederne måles under $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, , så du har brug for nulfordelingen $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ for at definere den kritiske region, dvs. kvantilen $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Fra en prøve kan du observere et resultat $ x $ for den tilfældige variabel $ X $, og nulstillingen afvises, når $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Med andre ord vil din test bestemme, at $ H_1 \ textrm {besluttet som sandt} \ iff x \ i [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
styrken i din test er sandsynligheden for, at $ H_1 $ bestemmes som sandt når $ H_1 $ er sandt , så kraften er sandsynligheden for, at $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ når $ H_1 $ er sandt, dette er sandsynlighed for, at $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, når den sande fordeling er $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ eller magt $ \ mathcal {P} $ er
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Hvor superindex $ (1) $ angiver, at sandsynlighederne beregnes under $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Så effekten måles med $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, men du har brug for værdien af $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, der beregnes med $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Jeg brugte strømmen $ \ mathcal {P} $, og type II-fejlen $ \ beta $ er $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
I dit tilfælde
Du har ret, når du siger, at “” Fordelingen i “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ “er $ F_1 $” “
For at finde $ b $ skal du dog bruge $ F_0 $. Faktisk er $ b $ analog med $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $