Antag, at vi har Hamiltonian på $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dolk} + A)) $$ Vi kender også $ AA ^ {\ dolk} = A ^ {\ dolk} A-1 $ og $ A ^ 2 = 0 $, hvilket giver $ W = A ^ {\ dolk} A $
Hvordan kan vi udtrykke $ H $ som $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Indtil videre har jeg vist, at hvis vi betragter egenværdierne på $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Det antyder, at $ A | \ psi \ rangle $ og $ A ^ {\ dolk} | \ psi \ rangle $ også er egenvektorer på $ W $ med egenværdi $ 1-w $. Ved hjælp af $ A ^ 2 = 0 $ finder vi, at $ w = 0 $ eller $ 1 $
Jeg er ikke helt sikker på, hvordan du går ud på at udtrykke operatorer som matricer, som størstedelen af mit kursus har brugt bølgefunktionsnotation, jeg sætter stor pris på, om nogen kunne forklare de næste trin her bare så jeg kan få en mere grundig forståelse af det.
Kommentarer
- Kan du løse for A, fra de 2 ligninger, du skrev? antage generelle komplekse tal a, b, c, d som matrixværdierne for A. Jeg formoder, at dette kunne fungere.
Svar
Som @MichaelBrown har påpeget i svaret, skal du bare få sandwich-operatøren mellem to stater for at få matrixelementet. Så i tilfælde af din Hamiltonian $ H $ er matrixelementerne angivet som $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Jeg skal påpege, at $ i $ “s, som du bruger, skal være det grundlæggende sæt, du er i. Hvis du har en tilstand $ \ psi $, så hvis $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ kun end kan du udtrykke matrixelementerne hos din operatør på denne måde. Hvis du klemmer operatøren mellem selve staten, ender du med forventningen om staten. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Kommentarer
- Tak for at du tog dig tid til at svare, men som jeg sagde til MichaelBrown, hvordan kan jeg anvende dette i denne situation? Hvor alt hvad jeg ved er to egenvektorer og deres tilsvarende egenværdier.
Svar
Matrixelementet $ O_ {ij} $ for en operatør er defineret med $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ og det er traditionelt, at $ i $ indekset markerer rækken og $ j $ mærker kolonnen. På denne måde fungerer matrixmultiplikation som dig forventer: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ som du kan vise ved at indsætte et komplet sæt stater.
Kommentarer
- Tak for dit svar, men hvordan kan jeg anvende dette i denne situation? Hvor alt hvad jeg ved er to egenvektorer og deres tilsvarende egenværdier.