Hvordan opretter man “ gode ” matematiske problemer?

Da dit spørgsmål er meget bredt, er der et noget bredt svar: Læs om problemstilling.

Tre nøgleelementer er:

Silver, EA (1994). Om matematisk problemstilling. Til læring af matematik, 14 (1), 19-28.

og bogen

Brown, SI, & Walter, MI (2005). Kunsten med at stille problemer . Psychology Press.

Sidstnævnte er en gentrykning af en bog, der først kom ud i 1983. Du kan også finde en relateret bog redigeret af Brown og Walter; en henvisning til den seneste version er:

Brown, SI, & Walter, MI (red. ). (2014). Problemstilling: Refleksioner og applikationer . Psychology Press.

Start med disse tre dokumenter, deres referencer og (søgning på Google Scholar) andre papirer og artikler, der citeres dem.

At skitsere meget groft Brown og Walters forslag: Start med et matematisk scenario, anfør antagelser, varier begrænsninger (i deres udtryk: ” Hvad-hvis- not-ing “), og derefter stille spørgsmål. Du kan endda ” cykle ” gennem denne proces gentagne gange for at skabe problemer med stigende kompleksitet.

Selvfølgelig medfører problemstilling faren for ikke at kende svaret på det, du beder om.

For eksempel , kan dit startscenarie muligvis bruge Pythagoras sætning:

Find alle heltalsløsninger til $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .

Dette særlige eksempel udforskes i Brown og Walters bog, men det forekommer mig en rimelig antagelse om at nævne at eksponenten overalt er $ 2 $ , og at bede om heltalsløsninger, når eksponenten er $ 3 $ .. .. eller hvis man føler sig særlig dristig, at generalisere og bede om eksponent $ k \ geq 3 $ .

På et øjeblik kan dette virke som et rimeligt spørgsmål; men hvis du er bekendt med Fermats sidste sætning, vil du indse, at dette ikke er et passende problem for de fleste studerende.

Du kan finde nogle af mine korte bemærkninger om problemstilling og kreativitet til dels $ 4b $ her og et par andre eksempler vedrørende problemstilling og intuition i konkret eksempel sektion her .

En sidste bemærkning: Du starter med at nævne ” essentielt ” rolle for problem løsning for at forbedre vores forståelse af matematik. Det kan være værd at bemærke, at problem posering spiller en vigtig rolle i løsning; overvej Polyas liste over heuristikker, og hvor mange af dem er spørgsmål: Hvad er et relateret problem? Hvad er et enklere problem? Hvordan kan jeg generalisere dette problem? Etc. (historisk sporer både Silver i det første stykke citerede ovenfor og Kilpatrick om problemformulering denne observation, dvs. at problemstillingen er en integreret del af problemløsning, i det mindste tilbage til et papir fra 1945 af Karl Duncker.)

Som Cantor (1867) skrev i sin doktorafhandling:

“In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”

(“ I matematik er kunsten at stille spørgsmål mere værdifuld end at løse problemer ”).

Kommentarer

• Mens jeg ‘ en fan af P ó lya ‘ s bog, jeg er bange for, at den antager, at du får alle nødvendige data, og kun nødvendige data, for meget indbygget . ” Virkelig verden ” problemer handler stort set om at finde ud af, hvad der er relevant, og hvad der ikke er ‘ t, og samle missin g data.
• @vonbrand Udover at se på nogle af Polya ‘ s efterfølgende bøger (efter- Sådan løses det ) I ‘ d foreslår for ” virkelige verden ” problemer, der undersøger litteraturen om matematisk modellering. Skæringspunktet mellem matematikmodellering og matematikuddannelse kan stadig kæmpes temmelig fuldt ud; start med Pollak ‘ s arbejde (relevant: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) og flyt ud til sit citater …

For mig er der måske tre hovedtyper af problemer, som jeg tildele:

1. Rutinemæssig færdighedsopbygning : enten er modelleret på en beregning, som jeg har vist lignende problemer løst, eller er et bevisproblem, som bare er en naturlig konsekvens af definition med lidt ekstra teknik krævet. For et beviskursus er mange problemer lidt mere end en invitation til at bekymre sig om, hvad notationen faktisk betyder.
2. Opdagelse af bredde : i hvert kursus er der visse emner, som vi ikke har tid nok til foredrag til. Det er en meget givende oplevelse for studerende at blive guidet gennem et kort modul af problemer, hvor de opdager de væsentlige træk ved et emne, der ikke er dækket i dybden af forelæsning og andet materiale.
3. Udfordring : her er der ingen skinner, ingen boks, ingen forventning nogen i løbet løser det. Nogle gange bruges disse til at vise begrænsningerne i en nuværende familie af teknikker til at løse problemer, nogle gange involverer disse en fuzzy intuition, der styrer et kreativt spring.

Jeg formoder de fleste af de problemer, jeg skriver og / eller tildele passer ind i enten 1 eller 2, men studerende beskylder mig ofte for 3. Ærligt talt er en af grundene til, at jeg prøver at surfe på MSE en hel del, at vurdere, hvad der er omfattet af mine kurser på andre universiteter. Også den internationale smag af MSE hjælper mig med at få et tværsnit af, hvad der sker på skoler over hele verden.

Kommentarer

• Du udelader hele tiden det foretrukne trick-spørgsmål, hvor du skal komme med et Rube-Goldbergian-twist for at have noget håber på at løse problemet. Mange herom beskyldes for at begå gåder, ikke eksamener …
• @vonbrand godt, det ville sandsynligvis falde under udfordring. Ofte begynder sådanne problemer med et svar, der opstår en mørk magi, der involverer serier, og derefter bliver den studerende bedt om at se et mønster … ha ha ha … ondt.

To forslag:

1) Deltag i workshops og konferencer og find problemløsningssessioner eller præsentanter, der deler deres “yndlingsproblemer.”Når problemerne og løsningerne diskuteres, vises der unikke metoder og tilgange.

2) Byg et bibliotek, og tag tid til at læse. Saml bøger, pdfs og kilder. En lærebog, der ikke passer til de studerende, kan være en stor kilde til problemer. (Brug Amazon og eBay til at få brugte versioner, der er meget billigere.) Rediger lærebogversionen efter behov. Kreativitet ved oprettelse af problemer kommer fra at bladre gennem kilder.

Kommentarer

• Tjek matematik-olympiade-websteder. Se efter forelæsningsnotater, (løste) eksamener, lektier, … ‘ nettet vrimler af den slags af ting.

Du specificerede ikke et bestemt niveau, men jeg tror, dit spørgsmål har fortjeneste under alle omstændigheder. Jeg tager det på K-8 niveau. Først vil jeg adressere dit specifikke krav:

Ved “god” mener jeg tankevækkende, inspirerende problemer med løsninger, der kan udvides til andre domæner.

Jeg vil fortolke “inspirerende” til at betyde, at studerende har en motivation til at engagere sig i problemets matematik. For “tankevækkende” vil jeg antage, at du mener, at problemerne har stor sandsynlighed for, at eleverne skal engagere sig i produktive matematiske ræsonnementer. Disse er væsentlige egenskaber ved gode undersøgelser i en læseplan. Det vil sige, en god læseplan skal indeholde aktiviteter og undersøgelser, der tilfredsstiller disse.

Jeg spurgte engang en velkendt læseplanudvikler af høj kvalitet, hvordan hun vidste, at hendes læseplanproblemer opfyldte kravene i “ realistisk matematikuddannelse “(som var den tilgang, der inspirerede hendes læseplan. Hun svarede, at de måtte prøve hver aktivitet med rigtige studerende mange gange i forsknings- og udviklingsprocessen. Mens de første kladder kan have været baseret på teori, i virkeligheden blev den færdige læseplan stærkt testet.

Find og saml derfor problemer, der er udviklet af gode læseplan designere. Bygg om nødvendigt dit eget bibliotek med sådanne problemer.

En sidste note: du foreslog, at du ville have problemer, hvis løsninger kunne udvides til andre domæner. Jeg foreslår, at du er forsigtig med denne form for antagelse, når du leder efter problemer. Hvad de kommer til at forstå i processen med at stille problem og løsning kan hjælpe dem med at danne konn sektioner mellem sammenhænge. Du kan dog finde det vanskeligt at støtte begrebet “domæneoverførbare løsninger” i god matematikundervisningslitteratur. Fokus mere på, hvilken slags matematisk ræsonnement de studerende får mulighed og ressourcer til at engagere sig i.