Hvorfor bruger formlerne til planck ' s enheder h i stedet for hbar?

svaret.com side dig nævnt bruger følgende formel: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Bemærk, at der er $ 2 \ pi $ -faktoren i nævneren – så $ h / 2 \ pi $ kan forenkles som den sædvanlige $ \ hbar $. De var sandsynligvis ikke i stand til at skrive denne karakter eller ville undgå terminologi og symboler, som kun er kendt af fysikere. Men der er ingen numeriske fejl på svaret.com-siden. Under alle omstændigheder svarer definitionen ovenfor til $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$, som er den sædvanlige “ikke-reducerede” Planck-længde. Se Wikipedia for den samme formel:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Numerisk er det $ 1,6 \ gange 10 ^ {- 35} $ meter. (Opdatering: Oxford Dictionary of English har en forkert formel – de udeladte $ 2 \ pi $ og glemte også at krydse $ h $. Men de betyder helt klart den samme Planck-længde.) Nogle gange bruger folk også den “reducerede” Planck. længde, der er mere fancy og “professionel” på en måde: $$ L_ {Planck, reduceret} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Bemærk, at $ 8 \ pi $ i tælleren kan også flettes med $ \ hbar $ for at få $ 4h $ tilbage – så den reducerede Planck-længde er to gange (på grund af kvadratroden) den forkerte Planck-længde, som du ville få ved at bruge $ h $ i stedet for $ \ hbar $. Men hvad er den virkelige grund til, at $ 8 \ pi $ blev tilføjet der?

Årsagen til, at $ 8 \ pi G $ vises i stedet for $ G $, er fordi $ 8 \ pi G $ i en eller anden forstand er mere naturlig en konstant end $ G $: denne diskussion er analog med behandlingen af $ 4 \ pi $ i elektrodynamik. Den konstante $ 8 \ pi G $ er naturlig, fordi Einstein-Hilbert-handlingen er $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ The mest naturlige koefficient ville være $ 1/2 $ i stedet for $ 1/16 \ pi G $, hvilket gør det naturligt at indstille $ 8 \ pi G = 1 $. Den reducerede Planck-længde er noget længere (fem gange eller deromkring) – mindre ekstremt lille. Endnu oftere taler partikelfysikere om henholdsvis Planck-energien og den reducerede Planck-energi, som er tæt på henholdsvis $ 10 ^ {19} $ og $ 10 ^ {18} $ GeV.

Konventionen om den konstante $ G $ blev oprindeligt valgt af Newton, der ønskede at skrive tyngdekraften som $ GMm / r ^ 2 $. Nå, det ville være mere naturligt at have faktoren $ 4 \ pi $ eller $ 8 \ pi $ i nævneren, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Du kan se, at $ \ Gamma $ simpelthen er $ \ Gamma = 8 \ pi G $, og det ville være naturligt at indstille $ \ Gamma $ lig med en.

Jeg håber, at jeg ikke har for at forklare, hvorfor $ \ hbar $ er mere naturligt end $ h $ for voksne fysikere. “Laymen” -versionerne af formlerne kan være enklere med $ h $ – men de beskæftiger sig med bølgelængde osv. Voksne fysikere ved, at sinusens bølgelængde er proportional med $ 2 \ pi $. Og de mest grundlæggende ligninger, såsom Schrödingers ligning eller kommutatorerne til $ [x, p] $, tager en enklere form i form af $ \ hbar $ end $ h $, af kursus.

Tilbage til $ G $: folk måtte vælge den konvention, hvordan man normaliserede $ G $ i højere dimensioner. Den sædvanlige konvention, som implicit anvendt ovenfor, er, at Einstein-Hilbert-handlingen altid har koefficienten $ 1/16 \ pi G $. Det indebærer, at i $ D $ rumtimedimensioner, vil kraften ikke være $ GMm / r ^ {D-2} $, men den vil have nogle $ D $ -afhængige numeriske koefficienter i sig.

Bedst ønsker Lubos

Kommentarer

• Mange tak Lubos! Jeg forstår, at der skal være den reducerede Planck ' er konstant der på den ene eller anden måde (med hbar eller med h over 2 pi).Imidlertid ser jeg en uoverensstemmelse mellem Wikipedia ' s ligning og Oxford dict ' s ligning, da jeg ' har opdateret spørgsmålet, der skal vises.
• Tak for opdateringen, forkert brugernavn. Oxford Dictionary har en fejl – de glemte at skære $ h $, enten på grund af utilstrækkelige skrifttyper eller inkompetente forfattere haha.