Hvorfor er der tolv toner i en oktav?

Dette spørgsmål på math.se ligner meget det, du beder om, og svarene giver en masse detaljer:

Matematisk forskel mellem hvide og sorte toner i et klaver?

Hvad der foregår her er et massivt praktisk matematisk sammenfald: flere af kræfterne i 2 ^ (1/12) tilfældigvis er gode tilnærmelser til forhold på små heltal, og der er nok af disse til at afspille vestlig musik.

Kommentarer

• Jeg tænker mere grundlæggende, (3/2) ^ 12 (129.75) er tæt på en styrke på to (128). Således har femtedele på en 12-tone lige tempereret skala et forhold på 1,498: 1 (ideelt ville være 1,5: 1), hvilket er tættere på perfekt end for noget andet rimeligt antal noter.
• Jeg ‘ har læst diskussioner af 19-TET (19-tone lige temperament), hvor en diatonisk skala ville have fem ” large ” intervaller på 3/19 oktav og to ” små ” intervaller på 2/19 oktav. En sådan skala ville være modtagelig for normal musiknotation, hvis man f.eks. C # og Db er 1/3 trin fra hinanden. Den største underlighed ville være, at nøglesignaturer med op til ni skarpe eller flade ville være forskellige (snarere end at have C # / Db, F # / Gb og B / Cb som par lyd-ens nøglesignaturer).
• Jeg tror, at dette tilbud ikke gælder eller forklarer spørgsmålet. Der er ingen tilfældighed her. Det er ved konstruktion.
• @ggcg At n-toneens ligestillede skala består af frekvensforhold på 2 ^ (j / n) for heltalværdier af j er ved konstruktion. At 2 ^ (7/12) og 2 ^ (5/12) er gode tilnærmelser til 3/2 og 4/3, og at der ikke er nogen tilsvarende gode tilnærmelser til disse forhold i 11- eller 13-tone lige temperament er en faktum. Og ikke en tilfældighed – det vedrører den fortsatte brøkdel af base-2-logaritmen på 3. At 2 ^ (4/12) er en anstændig tilnærmelse til 5/4 er dog en tilfældighed, så vidt jeg kan se. Særlige egenskaber ved nummer 12 er, hvad der får 12-tone lige temperament til at fungere rimeligt godt.

To punkter, der muligvis ikke er blevet fuldstændigt besvaret.

• Hvorfor er C-dur referenceskalaen for naturlige toner?

  Anglo-saxon notationen tilslører historien lidt. Tradition fra kirkemusik førte i Italien (derefter kort efter Frankrig og Spanien) til at navngive noter af referencens hovedskala efter konventionelle stavelser: Ut Re Mi Fa Sol La Si (dette svarer til CDEFGAB ) kommer fra de latinske tekster fra et meget velkendt stykke af den tid. Den sidstnævnte enkeltbogstav -notation tager et andet udgangspunkt, men C-durskalaens referencekarakter er fortsat i hele Occidental-lande, selvom du kan finde bevis for notationer og tastaturer ved hjælp af andre noter som reference. En af de vigtigste indflydelser har været konstruktionen af keyboardinstrumenter (især kirkeorgel). Det aktuelle tastaturlayout er et kompromis mellem den typiske bredde af hænderne og spiller Ut (nu mest kaldet Do eller C ) større skala let og have adgang til alle halvtoner og et par andre ting. Andre designs har ikke været så succesrige.

  Du er også nødt til at vide, at teoretisering og standardisering af musik i det mindste frem til det 19. århundrede blev foretaget under protektion af kirkerne (ortodokse, katolske, reformerede, …), der pressede på for ensartethed. Det nittende århundrede har set en endnu større standardisering og internationalisering af tuning, musikundervisning og klaverherredømme som reference- og kompositionsinstrument. De sidste tre århundreder har gradvist undertrykt eller glemt de fleste af de forskellige traditioner (med hensyn til skalaer, tilstande, tuning) i Europa.I dag undervises folk, der lærer om musik, som et bevis på C-durskalaen som et fundament for musikteori og den mindre skala og hans varianter behandles ikke altid retfærdigt.

• Hvorfor er der er en semitone mellem E & F og B & C og ikke andetsteds?

  Der er flere skalaer / tilstande uden for hovedskalaen med et varierende antal noter, hvor halvtonerne ikke placeres mellem 3. og 4. tone og mellem 7. og 8. tone. De tre mindre skalaer (harmonisk, stigende, faldende) for eksempel, men også dorian , phrygian , du kan læse en encyklopædiartikel om dem.

Kommentarer

• Faktisk kommer kun ut til la direkte fra salmen, som kun spænder fra C til A, men det var fint, da systemet der anvendte disse stavelser, omfattede overlappende skalaer med seks noder kaldet hexachords; disse stavelser blev brugt sammen med bogstavnavne på skalaen med syv noter, der synes at have været forud for dem. Ut blev anvendt på F, C eller G. Si blev tilføjet senere, da hexachord-systemet brød sammen, og stavelserne blev anvendt på skalaen med syv noter. Den store skala eksisterede ikke rigtig på det tidspunkt, da der kun var fire autentiske tilstande og deres plagale modstykker.

En femtedel er det mindste ikke-oktav konsonantinterval med et frekvensforhold på 3: 2. Hvis du begynder at stable rene femtedele, er det første resultat, der er rimeligt tæt på stablede oktaver (2: 1), 12 femtedele, hvilket viser sig at være 531441: 4096 i modsætning til 128: 1 for 7 oktaver. Det er så tæt som du kan komme for et rimeligt antal toner pr. Oktav. Så hvis du leder efter en tonalitet, der er bygget fra stablede oktaver og næsten perfekte femtedele, vil en tolvtonedeling være stort set hvad du kommer til .

Dette tjener tilfældigvis også nogle få andre intervaller (for eksempel større og mindre tredjedele), men værre end femtedele. “middel tone temperament” forsøger at få et antal store tredjedele rent på bekostning af at få flere andre intervaller såvel som nogle tredjedele lyder dårligere, og “vel tempereret tuning” får flere rene femtedele og nogle pæne tredjedele i bytte for nogle mere usmagelige femtedele.

Så gennem årtusinder har tuning ændret fokus fra rene tredjedele til rene femtedele og til sidst besluttet sig på kun at gøre oktaverne rene og bygge resten af skalaen omkring en lige så tempereret femtedel, hvilket resulterer i 12 ensartede halvtoner.

Kommentarer

• det var en meget god forklaring. tak skal du have. Jeg er stadig interesseret i at opdele oktaverne i forskellige antal halvtoner og lege med resultaterne. Det får mig til at spekulere på, om 12-semitone-oktaven lød godt inden fremkomsten af ” musik, som vi kender den “, eller om det er noget af en erhvervet smag, i hvilket tilfælde alternative opdelinger af oktaven kunne tilpasses, som i tilfældet med vestlig vs indisk vs østasiatisk musik.

Når to toner spilles sammen, lyder de kun behageligt, hvis deres bølgekurver kommer sammen hvert par cykler. Vi kalder dem harmonisk lyd.

Hvis bølgekurverne aldrig kommer sammen eller ikke gør det inden for få cyklusser, lyder de uoverensstemmende.

Bølgekurver kommer kun sammen, hvis de to frekvenser er multipla af hinanden. Hvis for eksempel en frekvens er 200 cyklusser pr. sekund, og den anden er 600 cyklusser pr. sekund, vil deres lydkurver falde sammen nøjagtigt 3 gange hvert sekund, og de lyder harmonisk.

Ved at opdele hver oktav i 12 intervaller maksimerer du antallet af behageligt lydende par toner. Det er fordi tallet 12 kan deles med flere små tal end ethvert andet tal mindre end 60. Det er deleligt med 1,2,3,4 og 6. Nummeret 60 giver mulighed for mere behagelige kombinationer (1,2,3, 4 og 5), men det ville være latterligt at opdele en oktav i 60 intervaller.

Så i moderne vestlig musik bruger de 12 intervaller. Det giver det maksimale antal behageligt lydende kombinationer for at skabe harmoni.

Kommentarer

• Jeg kan ikke ‘ ikke se, hvorfor divisorerne er vigtige her. Fordi f.eks. Den lige tempererede triton har et frekvensforhold 2 ^ (6/12), som er en af de værste tilnærmelser (sammenlignet med bare intonation) i skalaen, mens den perfekte fjerde (2 ^ (5/12)) er en af det bedste (se linket i Matthew ‘ s svar). En anden lille kommentar: Hvis en frekvens er 200Hz, og en anden er 600Hz, forudsat at de ‘ synkroniseres, vil de være i samme fase 200 gange hvert sekund, dvs. hver 3. cyklus i hurtigere en.
• Frekvenserne behøver ‘ ikke at være multipla af hinanden; de har brug for at dele en lille fælles mutiple. Se mit svar her .
• 60 halvtoner pr. Oktav! det er et fremragende eksperiment at prøve: D
• @nonpop har ret. Hvis vi deler oktaven i n lige store intervaller, er det ikke vigtigt for n at have mange faktorer. 16et har ingen anvendelig tilnærmelse til en perfekt femtedel. 30et har ingen intervaller bedre end 15et, hvis bedste femte er 18 cent bredt (12et ‘ s er 2 cent smalt). På den anden side har nogle lige temperamenter med fremragende intervaller prime n, for eksempel 19et, 31et og 53et.
• Ja, jeg er enig med @nonpop. Der er noget forkert ved dette svar. Ingen af 12TET-intervallerne ” stiller op “, bare justering giver perfekt tilpasning, men forårsager andre problemer. 12TET er et kompromis. Jeg ‘ har kendt mennesker med perfekt tonehøjde, der hævder, at ALLE 12TET intervaller lyder dissonant.

Årsagen er BRAIN. Hjernen kan lide frekvenser, der er enkle proportioner. Det tror, de går sammen. Du skal først spørge, hvorfor er der oktaver?

Nå, oktaven repræsenterer en fordobling / halvering af hertz (cyklusser pr. sekund).

Så midi-midterste C er 256 hz, og hvis du kender dine computernumre, vil du indse, at de næste oktav Cer er ved 512, 1024, 2048 osv., og de nedre oktaver er ved 128, 64, og (pimp din tur) 32.

Jordskælv, forresten, dukker op omkring 11 hertz.

Hvert samfund starter med oktaven. “Cos 1/2. Har du det?

(Jeg foreslår, at den 2. Wiener skole forresten forlader oktaven og også indstiller instrumenterne. Niether giver nogen mening for dem. Den nuværende tilstand af ting med oktaver og tuning og lignende er ren hykleri. Lad det gå, drenge! Scorer også. Og spiller offentligt. Ingen kommer alligevel.)

Hh HHm …

Hvordan man deler oktaven?

Hvis vi starter den på C og deler den i 3 (hvilket er en dejlig hjerne-venlig andel) får vi en dejlig skala på 3 noter:

C, E , G #, C

Hvad med at opdele det i fire:

C, Eb, F #, A, C

“Det er pænt”, siger hjernen, “men den er for SYMMETRISK. Begge disse skalaer ser ud til at fortsætte for evigt og altid, jeg kan ikke fortælle hvad der er hvad. Jeg ved! Hvorfor blander du ikke og matcher proportionerne, så de er lidt mere ujævne? Så kan jeg finde ud af basnoten. “.

Og dermed blev” Proto Major Thingy “født:

C, E, G, C

og “Proto Minor Thingy”:

C, Eb, G, C

“Hang on a bit “, siger hjernen,” du gik glip af en note, gjorde du ikke? “.

” Hvor? “

” Mellem G og C er jeg ret sikker på at du havde noget mellem G og C “.

C, E, G, A, C?

” Thas NICE! Rock and Rollish. Fortsæt så, hvad med den anden? ”

C, Eb, G, Bb, C?

“Hej, hvad er der med Bb? Vi har aldrig hørt det før. Hvilken andel er det? “

” Det er 10/12. “.

” Du mener 5 / 6ths. Okay. Afspil det igen “.

C, Eb, G, Bb, C

“Kay, det er bluesy. Okay! Men det er for 70.000 år siden, og der er masser af fattige bastards buggerin rundt i landskabet, der bliver knust og mumset af sabeltandtigre og lignende. Lotta begravelser. Mucho tristhed. Som Trump i dag, skal du vide det! Brug for variation. “

” Permutationer? “

” Vis mig. “

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

“Hvad er F-forholdet? “

” 4/3 “

” Fantastisk! Jeg kan lide det. 5 noter. Lad os give det smarte græske navn. Træk det lidt op. Penta …? ”

“Tonic?”.

“Det er vidunderligt”.

“Jeg grinede. Du ved for bogstaveligt …”

” Nevermind. Det er fantastisk. Vi følger Pentatonic. Mere! Vi har brug for mere! Nu er der høvdinge, mudderhytter, smykker “

” Jeg har brug for nogle regler “.

” kay. Er .. hold Mindreårige tredje eller Major tredje og den femte hvor det er, og flyt bare de andre omkring … Jeg ved sådan her: flyt den syvende op, den sjette ned, den fjerde op og den anden ned! “

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

“Hej, så hvis vi overlejrer dem alle, får vi 12” underopdelinger af oktaven! Strålende! “

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

“Derfor kaldte jeg BRAIN, søn. Åh, og du” er velkommen. “

Kommentarer

• Jeg sætter pris på humor (lige op i min gyde), men det kan være lidt overdrevet for dette site. Hvad gør mener du med ” opdele C i 3? ”
• @GeneralNuisance Sandsynligvis betyder opdeling af oktaven i tre lige store dele.
• Faktisk, i lige temperament, er midterste C 261,63 Hz.
• Jeg tror ikke, at forudsætningen er sund.

For vestlig musik var grækerne de første til at finde ud af den matematik, der forekommer naturligt i de harmoniske overtoner, der genereres af horn og andre blæseinstrumenter. Grækerne anvendte de samme matematiske forhold (gyldne forhold) på strenge. Pythagoras opfandt den pythagoriske tuning af (3: 2) perfekte femtedele og oktaver (2: 1) for at matche naturligt forekommende harmoniske overtoner. Senere opfandt grækerne 7 modale skalaer baseret på pythagoras tuning. Syv tilstande med otte toner i en skala. Disse skalaer var ioniske, doriske, frygiske, lydiske, mixolydiske, æoliske og Locrian. Vi bruger stadig ionisk (major) og eolisk (mindre). Fejlen med naturlige harmoniske er, at oktaverne mellem hver tilstand var lidt fra hinanden. Aristoxenus i det 4. århundrede f.Kr. opfandt de 12 toner mellem oktaverne i et forsøg på at bruge det samme forhold mellem hver tone. Senere taster blev opfundet for at bruge disse 12 toner som hjemmebase for hver skala. Problemet var, at disse nøgler af natur er lidt væk fra hinanden. For at løse dette J.S. Bach i begyndelsen af 1700-tallet fremmede brugen af den tempererede skala. Han udlignede det naturligt forekommende hul mellem hver af de tolv halvtoner. Messinginstrumenter i barokperioden havde en pose med forskellige skurke til at justere for hver nøgle, de udførte i . Stringinstrumenter måtte også indstille for hver tastændring. Ved at bruge den tempererede skala kunne en kunstner skifte mellem alle de forskellige taster uden genindstilling.

Kommentarer

• Okay, god historie, men hvorfor besluttede Aristoxenus sig for 12 i stedet for 13 eller 11?
• Aristoxenus ønskede at bruge det samme forhold på 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html forklarer matematikken bag den.
• Det skal du forklare i dit svar.
• Dette svar har mange forkerte udsagn. Det gyldne forhold vises generelt ikke i harmoni. Græske tilstande omfattede ikke ioniske eller eoliske (og græske tilstande er ikke de samme som dem, vi lærer i dag med disse navne; de græske navne blev anvendt på fire af disse tilstande i middelalderen, mens æoliske, ioniske og Locrian blev udviklet senere). Der er 7 forskellige tonehøjder på en skala, ikke 8. Temperament blev opfundet længe før Bach, og det temperament, som Bach favoriserede, var ikke lige. Messingskurke har intet at gøre med temperament, og strenge behøvede ikke at justere for hver nøgleændring.

Et simpelt billede er undertiden bedre end en kæmpe forklaring, så jeg vil også opfordre til at kontrollere graferne i dette link, du kan holde musen over 10edo til 19edo for eksempel for at se forskellene mellem forskellige divisioner: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (se bare på de stærkeste konsonanser: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 og 3/5 – 5 / 3, resten af grafen er virkelig ikke vigtig i sammenligning.)

Grundlæggende hvad det tydeligt viser, er at divisionen med 12 noter er den eneste, der gør forholdet 3/2 og 4/3 (de mest vigtige *** efter oktaven) næsten ren. Og tredjedele / sjededele (forhold med tallet ” 5 “, det næstmest vigtige ***), er heller ikke så dårligt. Ingen anden opdeling med et rimeligt antal sedler, 10 til 19, kan ikke engang nærme sig dette. er matematisk bemærkelsesværdig, og grunden til, at vi bruger 12 noter og ikke 13, 11 eller osv.

** (” 1/3 ” betyder bare et forhold på 4/3 med 2 oktavskift, det er bare den måde, de oprindeligt præsenterer tallene på.)

*** (Hvad jeg mener er, at hvis din hjerne let vil genkende og huske musik, har du hellere brug for en stor flok femtedele, fjerde og tredjedele for at være mere eller mindre i harmoni, i din musikalsk arkitektur, endda melodisk, ellers er det for det meste dissonante lyde, der fører til støj og svært at huske for din hjerne …)

Baseret på din formulering af spørgsmålet vil jeg sige, at det er ved design. Det er ikke tilfældigt, at 12 halve trin passer ind i en oktav snarere end 11 eller 13. Selvom detaljerne kan ændre sig, hvis man antager, at man bare tuning, vil jeg forklare det under antagelse af lige tempereret tuning. Først skal du vide, at der er et kontinuum af frekvenser og derfor tonehøjder mellem to noter. Vi har konvergeret på et bestemt valg af tonehøjde-kombinationer til den vestlige diatoniske skala gennem århundreder med eksperimenter. Noterne i en skala afspejler, hvad der er behageligt for øret (rne) for en bestemt kultur. Over tid standardiserede vesterlændinge halvt trin ved at opdele oktaven i 12 trin ved hjælp af forholdet

f_octave = 2 * f_tonic

de pålagde begrænsningen om, at forholdet mellem to på hinanden følgende halve trin skulle være samme uanset hvor du starter,

f_1 / 2 = r * f_tonic (dette ville være et mindre sekund)

da vi tvinger antallet af 1/2 trin fra tonic til oktav til at være 12 får vi forholdet

r ^ 12 = 2 eller r = 2 ^ (1/12)

IMO et par stillinger her lægger vognen foran hesten. Du kan ikke demonstrere, at oktaven kun har 12 halvtoner ved hjælp af ovenstående definition af en halvtone. Du spørger snarere, hvad skal forholdet være for at sikre, at der er 12 i en oktav.

Til dette formål er der alle mulige alternative kromatikmer, der forsøger at placere N lige trin i en oktav. Disse resulterer i indstillingsligningen,

r = 2 ^ (1 / N)

Der er en 24 TET, der indeholder 24 lige store kvartrin i en oktav. Og du kunne absolut bygge en skala med

r = 2 ^ (1/13)

eller en anden rod af 2. Selvfølgelig ville disse IKKE være 1/2 trin i traditionel forståelse af udtrykket. Nu er spørgsmålet om, hvordan vi kom der, en længere historie. Før 12TET-tuning har Just major-skalaen med 8 toner (inklusive oktav) mere end 5 utilsigtede. Du kan google dette og finde Wiki-artikler om emnet, men der var, tror jeg, bare skalaer med så mange som 17 uafhængige noter i oktaven. Selvom alle sammenhængende noter sandsynligvis er lidt forskellige forhold. Derfor ikke rigtig et 1/2 trin. Hvad du kalder et 1/2 trin afhænger af, hvordan du lærte udtrykket.