Hvorfor er forventning det samme som det aritmetiske gennemsnit?

Uformelt definerer en sandsynlighedsfordeling relativ frekvens af resultater af en tilfældig variabel – den forventede værdi kan betragtes som et vægtet gennemsnit af disse resultater (vægtet med den relative frekvens). På samme måde kan den forventede værdi betragtes som det aritmetiske gennemsnit af et sæt tal, der genereres i nøjagtig forhold til deres sandsynlighed for at forekomme (i tilfælde af en kontinuerlig tilfældig variabel er dette ikke “t nøjagtigt sandt siden specifikke værdier har sandsynligheden $ 0 $).

Forbindelsen mellem den forventede værdi og det aritmetiske gennemsnit er mest tydelig med en diskret tilfældig variabel, hvor den forventede værdi er

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

hvor $ S $ er prøveområdet. Antag som eksempel, at du har en diskret tilfældig variabel $ X $, således at:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {med sandsynlighed} 1/8 \\ 2 & \ mbox {med sandsynlighed} 3/8 \\ 3 & \ mbox {med sandsynlighed} 1/2 \ end {cases} $$

Sandsynlighedsmassefunktionen er $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ og $ P (X = 3) = 1/2 $. Brug af formel ovenfor er den forventede værdi

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Overvej nu tal, der genereres med frekvenser, nøjagtigt proportionalt med sandsynlighedsmassefunktionen – for eksempel sæt numrene $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – to $ 1 $ s, seks $ 2 $ s og otte $ 3 $ s. Tag nu det aritmetiske gennemsnit af disse tal:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

, og du kan se, at det er nøjagtigt lig med den forventede værdi.

Kommentarer

• Ville ‘ ikke dette illustreres bedre ved hjælp af det enklere sæt med {1,2,2,2,3,3,3,3}} Udtrykket, der viser aritmetik middelværdien af dette sæt er identisk med udtrykket, der viser forventningsværdien for den variabel (hvis du konverterer de vægtede produkter til enkle summer).
• Re: ” udtryk, der viser aritmetisk gennemsnit af det sæt, er identisk med udtrykket, der viser forventningsværdien for den variabel (hvis du konverterer de vægtede produkter til enkle summer) ” – Ja @Dancrumb, det var hele punktet 🙂

Forventningen er gennemsnitsværdien eller gennemsnittet af en tilfældig variabel ikke en sandsynlighed distribution. Som sådan er det til diskretion De tilfældige variabler det vægtede gennemsnit af de værdier, den tilfældige variabel har, hvor vægtningen er i henhold til den relative hyppighed af forekomst af disse individuelle værdier. For en absolut kontinuerlig tilfældig variabel er det integral af værdier x ganget med sandsynlighedstætheden. Observerede data kan ses som værdierne for en samling uafhængige identisk fordelte tilfældige variabler. Prøvegennemsnittet (eller prøveforventningen) defineres som forventningen af dataene med hensyn til den empiriske fordeling for de observerede data. Dette gør det simpelthen det aritmetiske gennemsnit af dataene.

Kommentarer

• +1. God fangst re: ” Forventningen er gennemsnitsværdien eller gennemsnittet af en tilfældig variabel, ikke en sandsynlighedsfordeling “. Jeg bemærkede ‘ ikke dette subtile misbrug af terminologi.

Lad os være meget opmærksomme på definitionerne:

Middelværdi defineres som summen af en samling af tal divideret med antallet af tal i samlingen. Beregningen ville være “for i i 1 til n, (sum af x sub i) divideret med n. “

Forventet værdi (EV) er den langsigtede gennemsnitlige værdi af gentagelser af det eksperiment, den repræsenterer. Beregningen ville være” for i i 1 til n, summen af begivenheden x sub i gange dens sandsynlighed (og summen af alle p sub i skal = 1). “

I tilfælde af en retfærdig die er det let at se, at middelværdi og EV er de samme. Gennemsnit – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 og EV ville være:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = sum (p * x) = 3,50

Men hvad hvis matricen ikke var “fair”. En nem måde at gøre en uretfærdig matrix på ville være at bore ah ole i hjørnet ved skæringspunktet mellem 4, 5 og 6 ansigter.Lad os yderligere sige, at sandsynligheden for at rulle en 4, 5 eller 6 på vores nye og forbedrede skæve matrix er nu .2, og sandsynligheden for at rulle en 1, 2 eller 3 er nu .133. Det er det samme dør med 6 ansigter, et nummer på hvert ansigt, og gennemsnittet for denne dør er stadig 3,5. Efter at have rullet denne dør mange gange, er vores EV nu 3,8, fordi sandsynligheden for begivenhederne ikke længere er den samme for alle begivenheder.

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = sum (p * x) = 3.80

Lad os igen være forsigtig og gå tilbage til definitionen, før du konkluderer, at en ting altid vil være “den samme” som en anden. Se på, hvordan en normal matrix er sat op, og bor et hul i de andre 7 hjørner, og se, hvordan EVerne ændrer sig – have det sjovt.

Bob_T

Den eneste forskel mellem “gennemsnit” og “forventet værdi” er, at gennemsnit hovedsagelig bruges til frekvensfordeling, og forventning bruges til sandsynlighedsfordeling. I frekvensfordeling består prøveområdet af variabler og deres hyppighed af forekomst. I sandsynlighedsfordeling består prøveområdet af tilfældige variabler og deres sandsynligheder. Nu ved vi, at den samlede sandsynlighed for alle variabler i prøveområdet skal være = 1. Her ligger den grundlæggende forskel. Nævnersbetegnelsen for forventning er altid = 1. (dvs. Summation f (xi) = 1) Imidlertid er der ingen sådanne begrænsninger for summering af frekvens (som grundlæggende er det samlede antal poster).