Hvorfor er geosynkron bane en højde snarere end en hastighed?

Jeg er helt enig i, at det ikke er intuitivt. Orbitalmekanik er dog ofte ikke intuitiv, sandsynligvis fordi vi ikke oplever et orbitalt miljø regelmæssigt (hvis nogensinde).

Lad os bare antage, at vi taler om cirkulære baner til resten af mit indlæg, da du er nybegynder inden for banemekanik.

Der er kun en hastighed, som en given cirkulær bane i en bestemt højde kan gå. Husk, at stabile baner ikke kræver nogen kraft fra en motor for at fortsætte, som de har været. Dybest set i en cirkulær bane matches den faldende retning mod planeten nøjagtigt af den bevægelse, der bevæger sig fremad.

Sir Issac Newton regnede dette ud og eksemplificerede det med et tankeeksperiment kaldet Newtons kanonkugle .

Bemærk, at hvis kredsløbshastigheden er for langsom til den højde, kanonkuglen styrtede ned på planeten.

Og hvis kredsløbshastigheden også er højt for højden vil kredsløbet være en ellipse snarere end cirkulær, ellers kan kanonkuglen endda undslippe jorden helt!

Endelig, hvis kanonkuglen sættes i den” korrekte “orbitale hastighed for at være i en cirkulær bane i den højde, vil den hverken gå ned eller flyve væk , men vil forblive stabil og bevæge sig rundt på jorden med den bestemte hastighed.

I forskellige højder er denne Goldilocks-hastighed forskellig. Hvis kredsløbet er tættere på planeten, er tyngdekraftseffekten højere, så den kredsende genstand skal bevæge sig hurtigere for at modvirke faldet. Når det kredsende objekt er længere væk, er der mindre faldende kraft på grund af tyngdekraften (fordi tyngdekraften er baseret på afstand), og objektet behøver derfor ikke at bevæge sig så hurtigt for at modvirke den faldende kraft.

Fra Wikipedias Geocentric Orbit-artikel ved vi, at Low Earth Orbit f.eks. Kunne være en højde på 160 km. I denne højde er Goldilocks-hastigheden til holde en cirkulær bane omkring 8000 m / s og tager cirka 90 minutter.

Hvad sker der nu, hvis vi ser på en lidt højere højde? Nå, hastigheden er lavere, og den sti, den kredsende genstand rejser, får større (cirklen er større), så begge disse faktorer får kredsløbet til at tage længere tid. En lidt højere kredsløb kan tage 100 minutter i stedet for 90.

For en geosynkron kredsløb skal kredsløbet tage 24 timer i stedet for 90 minutter, fordi jorden tager 24 timer at dreje. Dette sker, når cirklen udvides til en højde på ca. 35000 km. Goldilocks v Elocity i denne højde er omkring 3000 m / s.

Dette er alt noget forenklet, men de brede streger er der alle. Som Organic Marble påpegede, kunne du prøve at tvinge et fartøj til at kredse i en anden højde inden for en 24-timers periode, men det ville ikke være en stabil bane, du skulle have brug for motorer for at holde det i gang.

Kommentarer

• Bemærk – Goldilocks-hastigheder garanterer ikke, at dit skib forbliver for varmt, for koldt eller helt rigtigt.(Undskyld, jeg ‘ har aldrig hørt udtrykket Goldilocks hastighed og har brug for at lave et ordspil).

Kort sagt, for en cirkulær bane og en given central krop er kredsløbsperioden udelukkende en funktion af radius. En geosynkron bane er bare kredsløbsradius, hvor den tilsvarende periode er lig med jordens rotationsperiode.

Du kunne flyve rundt om jorden i 24 timer i enhver højde, men ikke uden fremdrift.

Se dette spørgsmål til matematikken.

Tænk på det på denne måde. En cirkulær bane er kendetegnet ved, at den fiktive centrifugalkraft nøjagtigt annulleres af (centripetal) tyngdekraften. Hvis dette ikke var tilfældet, hvis tyngdekraften var stærkere, ville satellitten begynde at synke; hvis tyngdekraften var svagere, ville den begynde at stige. I begge tilfælde ville den ikke længere være i en cirkelbane.

En geostationær bane er kendetegnet ved dens vinkelhastighed (specifikt $ 2 \ pi $ radianer pr. dag). Centrifugalkraften til cirkulær bevægelse ved konstant vinkelhastighed er proportional med radius. Gravitationskraften er proportional med den inverse firkant af radius. Så du har en ligning i (generisk) form, $ Ar = B / r ^ 2 $ hvor $ A $ og $ B $ er nogle tal. Denne ligning er ikke gyldig for vilkårlig $ r $; snarere kan du beregne værdien af $ r $ ved at løse ligningen for det.

Når du tilslutter tallene, er det nøjagtigt hvad der sker. Centrifugalkraften for en masse $ m $ er givet ved $ F_c = mv ^ 2 / r = m \ omega ^ 2r $ hvor $ \ omega $ er vinkelhastigheden. Gravitationskraften for en masse $ m $ er $ F_g = GMm / r ^ 2 $ hvor $ G $ er Newtons konstant på tyngdekraften og $ M $ er Jorden “s masse. Når disse to er ens, har du $ m \ omega ^ 2 r = GMm / r ^ 2 $ eller $ r = \ sqrt [3] {GM / \ omega ^ 2} $. Når du tilslutter tallene, får du $ r \ simeq 4,23 \ gange 10 ^ 7 $ meter, eller efter at du har trukket jordens radius, en højde på ca. 36.000 km. Dette er den eneste værdi, for hvilken de to kræfter annulleres ved en vinkelhastighed på en fuld omdrejning pr. Dag, så dette er den geostationære højde.

\ begin {align} T & = 24 \ times60 ^ 2 & & = 86400 \, s \\ \ omega & = 2 \ pi f & & = {2 \ pi \ over T} \\ F & = {mv ^ 2 \ over r} & & = m \ omega ^ 2r \\ \ derfor F & = m \ venstre ({ 2 \ pi \ over T} \ højre) ^ 2r & & = {4 \ pi ^ 2mr \ over T ^ 2} \ \ \ text {And} F & = {GMm \ over r ^ 2} \\ & \ text {For at bevare højden :} \ sum f = 0 \\ {4 \ pi ^ 2mr \ over T ^ 2} & = {Gm \ over r ^ 2} \\ \ derfor r ^ 3 & = {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ \ derfor r & = \ root 3 \ af {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ T & = 86400, G = 6,67 \ times10 ^ {- 11 }, M = 5,97 \ times10 ^ {24} \\ \ derfor r & = \ root 3 \ af {86400 ^ 2 \ times6.67 \ times10 ^ {- 11} \ times5.97 \ times10 ^ {24} \ over4 \ pi ^ 2} \\ r & = 42,226 km \; \ text {fra midten af jorden} \\ h & = rR \\ \ derfor h & = 42,226km-6370km = 35856km \ end {align} $ M $ er jordens masse. $ R $ er Jordens radius.

Dette er mit forsøg på at få værdien. Det er slukket lidt, men dette kan skyldes nøjagtigheden af de anvendte tal og betragter kredsløbet som perfekt cirkulært. rotere med samme hastighed), hvilket betyder at have den samme frekvens eller den samme periode for rotation som jorden. den cirkulære bevægelse. Som andre har sagt, hvis disse to kræfter ikke er ens, vil det enten kollidere med jorden eller flyve væk.

Fra dette tidspunkt er det bare matematik at beregne den faktiske værdi, idet man husker, at denne værdi af r giver kredsløbsradius, som er afstanden fra centrum af jorden, så du skal trække R for at få højde over jorden.

Ud fra dette kunne du beregne en hastighed, som satellitten kører med, men i dette område bruges generelt vinkelhastighed mere. De fleste mennesker ville heller ikke vide, hvad de skal gøre med denne hastighed, da det ikke betyder meget og ikke er nyttigt.

Kommentarer

• Tak ! Matematikken værdsættes og undervurderes i andre svar.

Hvad er så specielt ved det magiske tal 22.000, der gør det muligt at lave en geosynkron bane i den højde, men ikke i nogen vilkårlig højde?

Løft et objekt til en meters højde på 1 meter. Lad det gå. Hvad sker der?

Splat

Centrifugalkraften i en geosynkron kredsløb 1 meter kan ikke understøtte et objekt mod tyngdekraften.

Antag derefter, at Pluto befinder sig i en geosynkron bane … det vil sige, at dværgplaneten skal dreje rundt om jorden på 24 timer. Den hastighed, den har brug for det er omtrent lyshastighed. Hvad sker der?

WHOOOSH

Pluto vil forsvinde ud i det store sorte derinde, fordi Jordens tyngdekraft umuligt ikke kan indeholde en objekt i en geosynkron bane på 7,5 milliarder kilometer.

Et eller andet sted imellem disse to ekstremer er højden, hvor tyngdekraften og centrifugalkraften i en 24-timers bane er ens og afbalancerer hinanden.

Den – specielle – højde er 22.000 miles.

Bevæg dig højere op og centrifugalkraften på en 24-timers bane er for stærk … den vil overvinde tyngdekraften og resultere i en elliptisk bane eller få objektet til at bryde væk fra Jorden samlet. Bevæg dig lavere, og centrifugalkraften er for svag til at afbalancere tyngdekraften, og objektet begynder at miste højden, hvilket igen resulterer i en excentrisk bane eller muligvis endda kollapse i atmosfæren.

Kommentarer

• ” Antag derefter, at Pluto er i en geosynkron bane … det vil sige, at dværgplaneten skal dreje rundt om jorden på 24 timer. Den hastighed, det ville have brug for, er ca. lyshastighed. ” Hvad mener du? I sin nuværende bane er Pluto naturligvis ikke ‘ t kredser om Jorden, så spørgsmålet er meget. For et objekt i geostationær eller geosynkron kredsløb omkring Jorden er størrelsen på objektet irrelevant: et plet støv eller en kæmpe klippe, betyder ikke ‘, banen er den samme.
• Jeg mente præcis, hvad jeg skrev – ” Antag, at … ” – i den forstand ” Lav tankeeksperimentet om, at Pluto er i en geosynkron bane omkring jorden “. Nej selvfølgelig er det ikke det, der sker i det virkelige liv, men for at undersøge den originale plakat ‘ antagelse om, at enhver bane kan være geosynkron, vi kan lege med ideen – at Pluto befinder sig i en geosynkron bane – et øjeblik og se, hvad konsekvenserne af det er. De er a) i den afstand har Jordens tyngdekraft en næsten ubetydelig effekt på Pluto og b) Pluto bliver nødt til at bevæge sig med lyshastighed. Dvs.: OP ‘ s antagelse er forkert.
• For at være klar er der en vigtig, men ikke-udtalt antagelse her med Pluto-tankeeksperimentet, at Pluto ‘ s orbitalafstand fra Jorden blev oprindeligt indstillet til et bestemt antal. Da både Jorden og Pluto kredser om solen (og i meget forskellige kredsløbsperioder plus Pluto ‘ s bane er elliptisk), varierer afstanden mellem Jorden og Pluto betydeligt. Jeg antager, at @MichaelKarnerfors netop valgte en gennemsnitlig jord-Pluto-afstand eller noget til beregning af den hastighed, Pluto ville have brug for en 24-timers jordcentreret bane.

(No-math svar)

Du falder rundt om jorden i enhver højde i enhver hastighed. Selvom du kaster en kugle, er det falder rundt om jorden. Den har bare ikke tilstrækkelig hastighed til at forhindre i at ramme den. Så den søde plet er for en bane, at du rejser langt nok til, at jordens krumning er lig med hvor langt du faldt. Jo tættere du er, jo mere tyngdekraft, jo mindre afstand er du nødt til at falde, inden du rammer, jo hurtigere er du nødt til at gå for at jorden skal kurve væk fra / ud af dit fald. Jo højere du er, jo langsommere kan du gå, når jorden kurver ud af din måde – mindre tyngdekraft. På denne måde behøver du ikke tilføje noget energi – du falder bare ned. I en bestemt højde svarer din hastighed nøjagtigt til jordens rotation. Dette er fantastisk, fordi vi kan rette vores parabolantenne på den.Hvis du vil være geosynkroniseret i enhver anden højde, kan du være – men du har brug for brændstof / energi og meget af det for at gøre det, og du vil ikke være vægtløs. Du er kun vægtløs, fordi du falder. Hvis der var et tårn, der er bygget så højt op, ville du stå på det med tyngdekraften, ligesom du ville hernede. Lidt mindre tyngdekraft – men stadig tyngdekraften. Derfor falder du. Du er vægtløs, når du også falder ned her. om at fastholde landingen for at lægge mærke til det.

Der er ikke noget magisk antal 22.000.

Hvis du, som du siger, kunne opnå geostationær bane i enhver højde, kunne du gå til et hvilket som helst sted på Jordens ækvator, holde en genstand i armlængde, frigøre den, og den forventer at den forbliver på plads og i det væsentlige svæver i luften. Når alt kommer til alt, rejser du og objektet omkring 1.000 miles i timen rundt om jordens akse. Vi ved alle, at objektet simpelthen ville falde til jorden.

Vi ved også, at objekter i en bane med lav jordbund skal bevæge sig. omkring 17.000 miles i timen for at forblive i kredsløb, og det tager cirka 90 minutter at gennemføre en bane. Vi ved også, at månen er i kredsløb omkring Jorden (strengt taget Earth-Moon barycenter), ligger omkring 240.000 miles væk, og gennemfører en bane på cirka 27 dage, rejser omkring 2500 miles i timen. Vi ved også, at tyngdekraften følger den omvendte firkantede lov og falder i forhold til afstandens firkant.

Hvad fortæller dette os For en ting, jo tættere et objekt på kroppen, det kredser, jo mere skal det modsætte sig tyngdekraften, hvilket det kun kan gøre ved at rejse hurtigere, hvilket kræver større acceleration for at forblive på den lukkede, buede sti, vi kalder I betragtning af de to eksempler på lav jordbane og månen, må der være en uendeligt række orbitale afstande, som hver har en tilhørende hastighed og periode. Der skal derfor være en bane, hvor perioden falder sammen med jordens rotation, og den vil have sin egen specifikke afstand.

I betragtning af ovenstående ved at kende Jordens tyngdeacceleration (~ 9,8 m / s / s på overfladen), jordens radius (det punkt, hvor tyngdekraften har den værdi), det omvendte kvadrat lov og formlen for cirkulær bevægelse, der vedrører radius og periode til acceleration, kan vi beregne den afstand, hvormed en bane vil have en ønsket periode. Det viser sig, at den kredsløbsafstand, hvor perioden falder sammen med jordens rotation, forekommer noget 22.000 mil op.