Hvorfor er jordens ' tyngdekraft stærkere ved polerne?

Pointen er, at hvis vi tilnærmer jorden med en oblat ellipsoid, så er jordens overflade en ekvipotential overflade , $ ^ 1 $ se f.eks. dette Phys.SE-indlæg.

Nu, fordi den polære radius er mindre end ækvatorialradius, skal densiteten af ækvipotentialoverflader ved polerne være større end ved ækvator.

Eller tilsvarende skal feltstyrken $ ^ 2 $ $ g $ ved polerne være større end ved ækvator.

–

$ ^ 1 $ Bemærk, at potentialet her refererer til den kombinerede effekt af tyngdekraften og centrifugalkræfterne. Hvis vi hælder lidt vand på en ekvipotential overflade, ville der ikke være en foretrukken strømningsretning.

$ ^ 2 $ Tilsvarende refererer feltstyrken, kendt som lille $ g $ , til kombineret effekt af tyngdekraft og centrifugalkræfter, selvom $ g $ ofte (tilfældigt og noget vildledende) omtales som tyngdekraften konstant på jordens overflade.

Kommentarer

• Fungerer argumentet ” dig tættere på centrum af massen “?
• Dejligt. Selvom svaret aldrig bruger udtrykket ” centrifugalkraft, er “, som ‘ er implicit i argumentet, fordi ækvipotentialet er et ækvipotentialt i den roterende ramme.
• @Floris – Argumentet om, at ” du er tættere på centrum af massen ” kinda-sort fungerer, hvor kinda-sorta betyder omkring 3/2 (i modsætning til en) i dette tilfælde. Omkring 2/3 af reduktionen ved ækvator kan henføres til, at ækvator er 21 km længere væk fra centrum af jorden. Den anden 1/3 skyldes direkte centrifugalkraft (og selvfølgelig skyldes den første 2/3 indirekte centrifugalkraft).
• @ DavidHammen – det antager jeg i mine bøger ” tyngdekraft ” er bare tiltrækningen mellem to massive objekter; den kraft, der opleves af en masse på jordens overflade, moduleres både afstand og rotation, men kun den førstnævnte er ” tyngdekraft ” i mine bøger. Yderligere, da OP sagde, at han forstod rotationsdelen, foreslog jeg virkelig at fokusere på den enkleste måde at angive anden del på.
• Jeg tror, at Lubos for længe siden skrev et svar, der forklarer noget, hvorfor tyngdekraften skyldes ækvatoriet bule er anderledes, end man naivt ville tro. Jeg ‘ Jeg vil se, om jeg kan grave det svar op.

Mange steder angiver, at jordens tyngdekraft er stærkere ved polerne end ækvator af to grunde:

1. Centrifugal kraft annullerer tyngdekraften minimalt, mere ved ækvator end ved polerne.
2. Polerne er tættere på centrum på grund af ækvatorialbuen og har således et stærkere tyngdefelt.

TL; DR-version: Der er tre grunde. I størrelsesorden

1. Polerne er tættere til centrum af jorden på grund af ækvatorialbuen. Dette styrker tyngdekraften ved polerne og svækker den ved ækvator.

2. Ækvatorialbuen ændrer, hvordan jorden graviterer. Dette svækker tyngdekraften ved polerne og styrker den ved ækvator.

3. Jorden roterer, så en jordbundet observatør ser en centrifugalkraft. har ingen effekt på polerne og svækker tyngdekraften ved ækvator.

Lad os se, hvordan de to forklaringer i spørgsmålet sammenlignes med observation.Den følgende tabel sammenligner, hvad en sfærisk tyngdekraftsmodel mindre centrifugalacceleration forudsiger for tyngdeacceleration ved havniveau ved ækvator ($ g _ {\ text {eq}} $) og nordpolen ($ g _ {\ text {p}} $) versus de værdier, der er beregnet ved hjælp af den veletablerede Somigliana-tyngdeformel $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Mængde} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Fejl} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0.03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {matrix} $

Denne enkle model fungerer i en kvalitativ forstand. Det viser, at tyngdekraften på nordpolen er højere end ved ækvator. Kvantitativt er denne enkle model ikke særlig god. Det overvurderer betydeligt forskellen mellem tyngdekraften på nordpolen og ækvator næsten med en faktor på to.

Problemet er, at denne enkle model ikke tager højde for tyngdepåvirkningen af ækvatorialbuen. En enkel måde at tænke på den udbulning er, at den tilføjer positiv masse ved ækvator, men tilføjer negativ masse ved polerne for en nul nettoændring i masse. Den negative masse ved polen reducerer tyngdekraften i nærheden af polen, mens den positive masse ved ækvator øger ækvatorial tyngdekraft. Det er præcis, hvad lægen beordrede.

Matematisk, hvad det at bevæge sig rundt om i masser er at skabe et kvadrupolmoment i Jordens tyngdefelt. Uden at gå i detaljerne med sfæriske harmoniske tilføjer dette et udtryk svarende til $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ til tyngdekraft, hvor $ \ lambda $ er den geocentriske breddegrad, og $ J_2 $ er Jordens anden dynamiske form. Tilføjelse af dette kvadrupoleudtryk til ovenstående tabel giver følgende:

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Denne enkle tilføjelse af kvadrupolen giver nu et meget flot match.

De tal, jeg brugte i ovenstående:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ tekst {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, jordens gravitationsparameter minus det atmosfæriske bidrag.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ tekst {km} $, Jordens ækvatoriale radius (middel tidevandsværdi).

• $ 1 / f = 298.25231 $, Jordens udfladning (gennemsnit tidevand værdi).

• $ \ omega = 7.292115855 \ gange 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, jordens rotation rate.

• $ J_2 = 0.0010826359 $, Jordens anden dynamiske formfaktor.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, tyngdekraft ved havniveau ved ækvator.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, som afspejler den observerede forskel mellem tyngdekraften ved ækvator versus polerne.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, kvadratet af excentriciteten af figuren af Jorden.

Disse værdier er for det meste fra Groten, “Grundlæggende parametre og aktuelle (2004) bedste skøn over parametrene af fælles relevans for astronomi, geodesi og geodynamik. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , med standard gravitationsparameteren modificeret til at udelukke atmosfærens masse. Jordens atmosfære har en tyngdekraftseffekt på Månen og på satellitter, men ikke så meget på mennesker, der står på Jordens overflade.

Kommentarer

• Re ” Polerne er tættere på jordens centrum på grund af til ækvatorialbuen. Dette styrker tyngdekraften ved polerne og svækker den ved ækvator. ” : Dette ville ikke være sandt, hvis Jorden havde en ensartet massefordeling .
• @PeterMortensen – Det er forkert. Selvom Jorden havde en ensartet tæthed, ville tyngdeacceleration ved polen være større end ved ækvator med en faktor på omkring $ 1 + \ frac 1 5 f $, hvor $ f $ er fladefaktoren. Se Fordeling af tyngdekraften på en ikke-roterende oblat sfæroid .
• Det ‘ er virkelig nyttigt at have alt dette ét sted; Jeg har aldrig rigtig forstået, hvor alvorlig situationen er, før jeg gennemgår det hele på én gang.

Her “Et simpelt argument, der ikke kræver noget kendskab til fancy ting som potentiale eller roterende referencerammer. Forestil dig, at vi gradvist kunne dreje jorden hurtigere og hurtigere. Til sidst ville det flyve fra hinanden. I det øjeblik, hvor det begyndte at flyve fra hinanden, ville der ske, at jordens dele ved ækvator ville have en orbital hastighed. Når du er i kredsløb, oplever du tilsyneladende vægtløshed ligesom astronauterne på rumstationen.

Så på et punkt på ækvator er den tilsyneladende tyngdeacceleration $ g $ (dvs. hvad du måler i et laboratorium fastgjort til jordens overflade) går ned til nul, når jorden spinder hurtigt nok. Ved interpolation forventer vi, at virkningen af det faktiske spin skal være at mindske $ g $ ved ækvator i forhold til den værdi, det ville have, hvis jorden ikke drejede.

Bemærk, at dette argument automatisk tager hensyn til jordens forvrængning væk fra sfæricitet. Den oblate form er bare en del af interpolationen mellem sfæricitet og opløsning.

Det er forskelligt ved polerne. Uanset hvor hurtigt du drejer jorden, vil en del af jorden ved nordpolen aldrig være i kredsløb. Værdien af $ g $ vil ændre sig på grund af ændringen i jordens form, men den effekt skal være relativt svag, fordi den aldrig kan føre til opbrud.

Forskellen i frit fald acceleration mellem poler og ækvator har to medvirkende faktorer. Jeg vil diskutere dem en efter en.

På polerne måles det tyngdeacceleration er 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Ved ækvator er den målte tyngdeacceleration 9,7805 $ m / s ^ 2 $

I betragtning af jordens ækvatoriale radius og jordens rotationshastighed kan du beregne, hvor meget centripetal acceleration, der kræves for at samrotere med jorden, når du befinder dig på ækvator. Det kommer ud til 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Denne krævede centripetal acceleration (ved ækvator) går på bekostning af den sande tyngdeacceleration ved ækvator.

Så vi kan rekonstruere, hvad den ækvatoriale tyngdeacceleration ville være på en himmellegeme med samme størrelse og densitet og ækvatoriale udbulning som Jorden, men ikke-roterende. $ m / s ^ 2 $

Så der er stadig en forskel på 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Den resterende forskel skyldes Jordens udfladning: På ækvator er du længere væk fra Jordens centrum for tyngdekraften end ved polerne.

Pointen er, hvis alle effekter blev taget i betragtning. Matematik vil blive opsummeret, at effekten af mere masse under dine fødder stadig er mindre end effekten af afstanden fra massens centrum

En anden opfattelse er. Ved ækvator er der buler i nærheden af dig. Men fra alle andre sider af jorden er buen langt fra dig. Sammenlign med stangen, at al udbuling er lige langt fra dig, der tegner forskellen