Hvorfor er kraft en vektor?

Uhm … du starter med et objekt kl hvile og bemærke, at hvis du skubber på det i forskellige retninger, bevæger det sig i forskellige retninger? Læg derefter mærke til, at du kan arrangere mere end to (tre for plane geometrier og fire for fulde 3D-geometrier) ikke-colinear kræfter for at afbryde hinanden (forhåbentlig lavede du en styrketabeltøvelse i din klasse og har gjort det selv).

Demonstrationen på et objekt, der allerede er i bevægelse, er lidt mindre indlysende, men du kan tage idéerne her og generalisere dem.

På en måde er dette så indlysende, at det er svært at svare på fordi næsten alt du gør med kræfter bruger deres vektor-natur.

Kommentarer

• Det er kun indlysende for folk som er vant til vektorer. Efter et stykke tid bliver du så vant til det, du glemmer, at det var forvirrende at lære. Du glemmer, hvad du gjorde, og vidste ikke ‘ på det tidspunkt. gør det svært at forklare tingene godt for begyndere. EG safeshere ‘ s kommentar er korrekt. Men nogen, der undrer sig over, hvorfor kraft er en vektor, vil også undre sig over, hvorfor momentum er. ng forvirret, at kinetisk energi har en indlysende retning, men det er ikke ‘ t en vektor.
• Kinetisk energi har ikke en retning. En genstands momentum har en retning. Et objekt på 500 g, der bevæger sig med 2 m / s i den positive x-retning, har ikke samme momentum som et 500 g-objekt, der bevæger sig med 2 m / s i den negative x-retning, men de har begge den samme kinetiske energi.
• @BillN mmesser314 er opmærksom på det, men det er en almindelig nok misforståelse blandt introstuderende (især de mere tankevækkende). Han kritiserede forestillingen om, at ” ser dette har en retning ” er et godt nok værktøj til at give eleverne til at skelne vektorer fra ikke-vektorer. Jeg er uenig, fordi jeg ‘ snarere beskæftiger mig med spørgsmålet om kinetisk energi end at prøve at give introduktionsstuderende en mere abstrakt definition af ‘ vektor ‘, men det er et punkt, der er værd at overveje.
• @dmckee Ja, jeg vinkede mig hånd igennem Biot-Savart i dag og prøvede at forklare, hvorfor strømmen, $ I $, er ikke ‘ en vektor, men $ d \ vec {\ ell} $ er. Jeg kvalt næsten, mens jeg mumlede. 🙂 At ‘ stadig er en ikke-tilfredsstillende vektor for mig, men jeg holder på næsen og går videre.
• @ BillN Jeg tror, at dit KE-eksempel er et godt eksempel på, hvorfor dette kan være vanskeligt få nykommere i fysik. Jeg finder det ‘ s ikke nødvendigvis indlysende, at KE mangler en retningskomponent, indtil du ‘ har lavet et par eksperimenter, der viser, at der er en skalar ” energi ” værd at være opmærksom på.

Vektorer er ting der tilføjes som små pile. Pile tilføjer tip til halen.

Antal klipper er ikke en vektor. 2 klipper + 2 klipper = 4 klipper.

Forskydning er en vektor. Hvis du bevæger dig 2 fod til venstre og 2 fod til venstre igen, har du flyttet 4 fod. To pile, 2 fod lang, der peger mod venstre, spids til halen svarer til en pil, der er 4 fod lang, der peger tilbage.

Hvis du bevæger dig 2 fod til venstre og 2 fod til højre, er du flyttet tilbage til starten. Dette er det samme og slet ikke bevæger sig. Du kan ikke tilføje klipper på denne måde.

Kraft tilføjer som denne. To små kræfter til venstre svarer til en stor kraft til venstre. Lige kræfter til venstre og højre svarer til ingen kraft. Dette er hvorfor kraft er en vektor.

Rediger – Kommentarerne hæver et punkt, som jeg glansede over. Dette punkt hæves normalt ikke, når der introduceres vektorer.

Matematikere definerer en vektor som ting, der opfører sig som små pile, når de lægges sammen og ganges med skalarer. Fysikere tilføjer et andet krav. Vektorer skal være uforanderlige under koordinatsystemtransformationer.

En lille pil findes uafhængigt af, hvordan du ser på den. En lille pil ændres ikke, når du drejer, så den nu vender fremad. Tilsvarende ændres små pile ikke, hvis du drejer pilen, så den vender fremad.

Dette skyldes, at rummet er homogent og isotropisk. Der er ingen specielle steder eller retninger i rummet, der vil ændre dig eller en pil, hvis de flyttes til en ny placering eller retning. (Hvis du bevæger dig væk fra jorden, er tyngdekraften anderledes. Hvis dette betyder noget, skal du også flytte jorden.)

Derimod er en skalar et enkelt tal, der ikke ændres under koordinatsystemtransformationer. Antallet af klipper er en skalar.

Koordinaterne, der beskriver en vektorændring, når koordinatsystemet ændres. Den venstre komponent i en vektor er ikke en skalar.

Der er et 1-D matematisk vektorrum parallelt med den venstre koordinat for en vektor. Hvis du roterer koordinatsystemet, kan det være parallelt med, hvad der er blevet den forreste komponent. En fysiker vil ikke sige, at det er et vektorrum.

Kommentarer

• Hvad du forklarede, matcher også en underskrevet skalar. Du skulle have inkluderet en ” frem ” eller ” op ” bevægelse for at gøre det klarere.
• @RalfKleberhoff – Sandt. Du hæver et godt punkt.
• @RalfKleberhoff Hvordan er en signeret skalar ikke en vektor i en enkelt dimension? Virkelig. Dette forvirrede mig altid. Det ser ud til at have meget, meget mere til fælles med vektorer end skalarer.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Godt spørgsmål. Jeg opdaterede mit svar for at adressere det.

En mindre nitpick: kraft er ikke en vektor. Ligesom momentum er det en covector eller enform og en covariant. Du kan se dette på flere måder:

• fra princippet om virtuelt arbejde: kraft er en lineær funktion, der kortlægger infinitesimale forskydninger $ \ delta \ mathbf {x} $ (en vektor) til uendelig små ændringer i energi $ F \ delta \ mathbf {x} $ (en skalar) og dermed en covector pr. definition.
• Newtons anden lov $ F = ma $: acceleration er en vektor, som “indeks-sænkes” af massen for at give kraft.
• konservative kræfter opstår fra differensen af potentiel energi, $ F = -dV $, og en funktions forskel er en form (kovariant).

Forskellen mellem en vektor og en covector giver muligvis ikke mening, hvis du “er lige begyndt at lære om fysik, og for nu at vide, at kræfter kan” tilføjes tip til hale “som vektorer, kan være nok til praktiske beregninger. Men det er noget, du skal begynde at være opmærksom på, når din forståelse modnes: som dimensionel analyse, er det nøjagtigt at holde styr på, hvad dine fysiske objekter er, matematisk, både til at opbygge dybere forståelse og fange fejl.

Kommentarer

• Jeg synes, det er en nyttig kommentar, fordi det illustrerer, at ” dette er den mest naturlige måde at tænke på kraft ” er faktisk ikke nødvendigvis sandt. Covectors er helt naturlige ting, og du kan forestille dig en læseplan, der arbejdede så meget med dem som med vektorer. Det er en tradition i vores uddannelsessystem, at vi ikke gør det (i det mindste eksplicit).
• @FrancisDavey Jeg vil hellere sige, at traditionen er, at vi ikke skelner mellem vektorer og konvektorer, før alt for sent , og bare kald dem alle vektorer. (Jeg lærte ‘ ikke forskellen eksplicit, indtil jeg tog generel relativitet, eller muligvis kvantemekanik med bher og kets. Det skulle ‘ ve været eksplicit i det første lineære algebakursus, hvor de optrådte som søjlevektorer og rækkevektorer, men det var ikke ‘ t eksplicit.)
• Ikke værd at nedstemme, men bestemt ikke en opstemning værd. Jeg ‘ er ikke begejstret for denne ” hvordan ting forvandler ” definition af hvad der udgør en ” vektor “. Den matematiske definition af en vektor er meget enklere: Vektorer er medlemmer af et vektorrum – et rum udstyret med to operationer, der adlyder otte enkle aksiomer. Ved denne definition er kræfter (i Newtonsk mekanik) vektorer.
• @DavidHammen En ” vektor ” kan betyde enten 1) en tangentvektor dvs. et element i tangentbundtet (eller mere generelt (0,1) -tensorerne i en tensoralgebra) eller 2) et element i et generelt vektorrum. Normalt i fysik når vi siger ” vektor ” mener vi ” (tangent) vektor “: vi ville ikke ‘ ikke kalde skalarer, funktioner, 2-tensorer eller faktisk covectors, ” vektorer ” selvom det teknisk set alle er elementer i et vektorrum. Bemærk, at per definition # 2 selv OP ‘ s ” tvinger en vektor eller skalar ” er et meningsløst spørgsmål!
• Alle disse ting er ægte vektorer. Vi kalder ‘ ikke typisk dem -vektorer, fordi ‘ ikke typisk er en nyttig funktion. Hvis du ‘ bruger en anden definition af ” vektor ” skal den staves ud .

Acceleration transformeres som en 3-vektor under rotation (gruppe O (3)).

Acceleration transformeres som en 4-vektor under rotation og boosts (Lorentz gruppe O (3,1)).

Acceleration kan meget vel være en del af en større struktur (f.eks: 2 indeks tensor ) under en større gruppe af transformationer inklusive rotationer, boosts, stammer og oversættelser.

Min pointe er, at når du siger acceleration (eller kraft) er en 3-vektor (eller noget andet), skal du angiv for hvilken gruppe af transformationer. For eksempel “transformeres acceleration som en 3-vektor under rotation”, og det er derfor, vi kalder det en 3-vektor.

Kommentarer

• Dette spørgsmål handlede tydeligt om Newtons fysik, som forfatteren ikke ‘ ikke forstår fuldt ud. Du ‘ er i gang med bestemmelser fra langt mere komplicerede fysiske områder (som forfatteren måske ikke engang har brug for). Det ‘ svarer til nogen, der spørger om Bernoulli ‘ s lov, og du beder dem om at specificere, om væsken er tyktflydende. Forklar de vilkår, du bruger, og match det tekniske niveau med spørgsmålet.
• @CodyP Slår slet ikke ind! Nå, måske er gruppeteori lidt højere end nødvendigt her, men … Definitionen af en vektor er tæt knyttet til, hvordan mængden opfører sig under rotation af koordinater. Det faktum, at vi forenkler denne idé til ” størrelse og retning ” fjerner ikke ‘ vigtigheden af at forstå rotation af koordinatsystemer og hvad ‘ er uændrede, og hvad ‘ ikke er. Det kan være avanceret, men det er ‘ vigtigt for at besvare OP. På niveauet Kleppner og Kalenkow skal personen introduceres til en bredere definition af vektorer og koordinere rotationer.
• @CodyP Spørgsmål på Stack Exchange-websteder er ‘ t bare for OP. De er også en holdbar ressource for senere besøgende. Svar på varieret niveau er en ønskelig ting, selvom Gary sandsynligvis ikke får OP ‘ s accept.
• Sandt, men det ‘ er stadig værdifuldt til at forstå din målgruppe og definere udtryk som boosts, tensor eller endda ” transformationsgruppe “. For en analogi kan du tale om effekter af viskositet i et spørgsmål om Bernoullis ‘ s lov, men at gøre det uden pleje er mere tilbøjeligt til at lyde pedantisk og forvirrende end nyttigt og klart.
• @CodyP sandt, men måske en dag besøger OP deres spørgsmål og forstår dette

Det virkelige svar efter min mening er ikke nogle underliggende filosofiske argumenter om, hvad en styrke er. Det virkelige svar er, at tænke på kraft som en vektor giver dig en model, der opfylder det vigtigste kriterium for enhver model: det er enig med eksperiment. Det er også pænt og simpelt, hvilket er en ekstra bonus.

At tænke på kræfter som vektorer giver dig mulighed for at komme med forudsigelser af, hvad der sker, når du udfører eksperimenter, specifikt eksperimenter, hvor du anvender flere læg for eksempel en kasse på is og træk i den med reb med fjedervægte indlejret i dem for at måle størrelsen af al kraft er involveret. Mål og skriv ned alle kræfterne og deres retninger, tænk på kræfter som vektorer, og beregn den resultatnatkraft, der virker på kassen, hvilket burde give dig en forudsigelse af dens acceleration. Mål derefter dens faktiske acceleration. De to skal være enige om, at inden for en eller anden fejl.

Folk har gjort eksperimenter som dette, både mere og mindre sofistikerede, i lang tid, og indtil videre har vi ikke fundet noget, der tyder på, at tænkning af kræfter som vektorer giver det forkerte resultat. kræfter som vektorer vil sandsynligvis give nøjagtige resultater, næste gang vi også har brug for at beregne en forudsigelse.

Så vi lærer at tænke på kræfter som vektorer, fordi det fungerer. Og så kan filosoffer argumentere for hvorfor det virker, normalt ved at sætte det i sammenhæng med et større billede, som også har modstået testen af eksperimenter.

Når det er sagt, er der naturlige måder at komme med ideen om selv at overveje at kraften er en vektor. Specifikt har hver styrke en retning og en størrelse. Som påpeget i andre kommentarer betyder det ikke nødvendigvis, at det skal være en vektor (kinetisk energi har tydeligvis en retning og en størrelsesorden, men betragtes normalt ikke som en vektor). Men det er nok at spørge, om det muligvis kan være en vektor, og at begynde at designe eksperimenter omkring denne hypotese.

Kommentarer

• Ændringer i kinetisk energi er skalære. Der er ingen absolut kinetisk energi; hvis en absolut kinetisk energi er givet som en vektor, forstås den at være i forhold til en referenceramme og angiver grundlæggende den mængde energi, der ville blive konverteret, hvis det givne objekt stoppede med at bevæge sig i forhold til den ramme. Det kan ikke behandles blot som en vektor; for eksempel to lige store masser, der bevæger sig i modsatte retninger, med den samme hastighed i forhold til referencerammen, tilføjer ikke nul kinetisk energi.
• @Kaz Din ” ingen absolut ” kommentar gælder også for momentum, så ‘ er ikke en god grund, da momentum har vist sig at være nyttigt at tænke omtrent som en vektor. ” to lige store masser, der bevæger sig i modsatte retninger, med samme hastighed i forhold til referencerammen, tilføjer ikke nul kinetisk energi ” Jeg kan ikke ‘ ikke se problemet. Den kinetiske energi bliver intern energi, hvis du betragter de to objekter som et system. Problemet vises, når du skifter til en bevægelig referenceramme, i hvilket tilfælde summen kinetisk energivektor bliver ikke-nul. Det er ikke en god vektortransformationsegenskab.
• (Selvfølgelig bliver det ikke-nul. I bare træt. Det virkelige problem er, at hvilken ikke-nul-vektor det bliver, afhænger af systemets interne egenskaber. Er de to objekter i samme størrelse og bevæger sig med samme hastighed, eller er et objekt større og langsommere? Dette påvirker den transformerede energi ” vektor “.)

Jeg havde også dette spørgsmål tidligere og brugte godt 5 timer på det. I sidste ende er forklaringen på dette bare, at forskydningen fungerer som en vektor. Og acceleration som det dobbelte afledte af det fungerer også som en. Hvorfor fungerer forskydning som en vektor ?? Nå, det følger reglerne for trigonometri og forskydninger i en retning er uafhængig af forskydningen vinkelret på den. Derfor definerer vi vektorkoncepter for at omfatte denne adfærd. Hvorfor følger forskydning reglerne for trigonometri ?? Nå, dette er mere eller mindre fundet ved at observere snarere end at udlede. Det mest fundamentale grundlag for alt inden for matematik er trods alt også observation og logik.

At få drollen lidt ud af vejen: du ved, at kraft er en vektor fra dens definition.

For at demonstrere, at det virkelig er, ville du udføre eksperimenter: start med at fastgøre tre forårsvægte (som dem, fiskere bruger til at veje fisk) til hinanden på samme sted og trække de andre ender af skalerer vandret i 120 graders vinkler med lige ikke-nul-kraft F. Konfigurationen er i den smukke ascii-grafik nedenfor, og du kan fortælle, at kræfterne er ens ved at se på aflæsningerne på hver skala.

 F / / F ----- o \ \ F 

Du vil også bemærke, at fastgørelsespunktet i midten forbliver stille, det vil sige nettokraften er nul.

Hvis F var en skalar, ville det være umuligt at tilføje eller trække nøjagtigt 3 ikke-nul Fer i den rækkefølge, og få 0 som et resultat.

Nu hvor du ved, at kraft ikke er en skalar, du vil derefter prøve at finde ud af en måde at få de tre Fer til at tilføje op til nul, og du bemærker, at hvis du parrer retningen af hvert fjeder til hver F, kan du få nøjagtigt det:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Du udfører derefter yderligere eksperimenter i forskellige opsætninger og finder ud af, at behandling af kraft som en skalar parret med en retning i hvert tilfælde giver det korrekte resultat, på hvilket tidspunkt du ville føle sig berettiget ved at sige: med henblik på beregning har kraft både en størrelse og en retning .

En vektor er derimod intet andet end en størrelse parret med en retning, så du har eksperimentelt vist, at inden for målingens grænser kraft er en vektor .

Det afhænger af arten af din tilgang og din fortolkning af ordet “vektor”. Konceptuelt er en rumlig vektor et matematisk objekt, der bruges til at indkapsle størrelser, der har både størrelse og retning. Når du anvender en kraft på noget, afhænger nettoresultatet af objektets bevægelse ikke kun af, hvor hårdt du skubber det, men også i den retning, du skubber det, så det er nødvendigt at modellere kræfter på en måde, der tager retningskomponenten i betragtning. Dette er lige så sandt i tre dimensioner som det er i en. Det er den enkleste måde at tænke på det.

Fra et matematisk perspektiv, som du allerede har nævnt, er det implicit i definitionen.

“Vi har fokuseret vores diskussion på en-dimensionel bevægelse. Det er naturligt at antage, at kraft, som acceleration, for tredimensionel bevægelse opfører sig som en vektor. “- (Introduktion til mekanik) Kleppner og Kolenkow.

Newton selv gjorde kræfternes vektoriske natur til den første og anden følge af hans tre bevægelseslove:

Resultat I:
Et legeme med to sammenføjede kræfter vil beskrive diagonalen af et parallelogram, på samme tid som det ville beskrive siderne, af disse kræfter fra hinanden .

Corollary II:
Og derfor forklares sammensætningen af en hvilken som helst direkte styrke AD ud af to skrå kræfter AC og CD og tværtimod opløsningen af en hvilken som helst direkte styrke AD i to skrå kræfter AC og CD: hvilken sammensætning og opløsning er rigeligt bekræftet af mekanik.

Kort sagt er kræfter kartesiske vektorer i matematisk forstand af hvad der udgør en vect eller.

Afledningen af disse følger i Principia er ret mistænkelig. Newtons anden lov adresserer nettokraften på objektet, mens Newtons tredje lov omhandler, hvordan individuelle kræfter kommer parvis. Men hvordan relaterer man disse individuelle kræfter til nettokraften? I modsætning til Kleppner og Kolenkow gør andre tekster et bedre stykke arbejde, idet det hedder, at kræfter er vektorer, er i virkeligheden Newtons fjerde bevægelseslov. fungerer åbenbart som vektorer, og fortsætter derefter. Et ikke-håndbølgerespons er at aksiomatisk hævde, at kræfter er vektorer, og derefter bevæge sig videre. Der er en subtil men signifikant forskel mellem disse to responser. Håndbølgesvaret efterlader eleverne forvirrede. Den aksiomatiske påstand opfordrer studerende til at stille spørgsmålstegn ved aksiomet. Det næste trin er selvfølgelig at teste, om aksiomet gælder i laboratorieindstillinger.

Faktisk er en fysisk kraft ikke en vektor. Det er en linje i 3D. En linje med en størrelsesorden. En fysisk kraft indeholder følgende egenskaber

• Retning, $ \ mathbf {e} $
• Et punkt hvor som helst langs linjen, $ \ mathbf {r} $
• Størrelse, $ F $

For at beskrive en fysisk kraft med en vektor kombinerer du størrelsen og retningen til $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ en enkelt vektor. Men dette mangler stadig de nødvendige oplysninger til at beskrive en fysisk kraft.

Du har også brug for en placering (applikationsstedet eller handlingslinjen, som den kaldes). Her har du et valg mellem et aktuelt punkt $ \ mathbf {r} $ eller det ligevægtige øjeblik om oprindelsen $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Hvis du vælger sidstnævnte, kan du gendanne punktet med $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Kraftvektoren, som du er fortrolig med, bruges ofte, fordi den overholder reglerne for vektoralgebra

• Tilføjelse er udført efter komponent $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Skalering foretages af komponent $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Men placeringen af to foces tilføjes ikke som vetorer.

For at repræsentere fysiske kræfter med vektorer har du brug for 6 komponentmængder kaldet skruer $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ som følger reglerne for lineær algebra og bærer positionsoplysninger inde i dem, hvilket giver de korrekte geometriske og algebraiske resultater.

Kommentarer

• Er dette den n-te definition af en kraft ” vektor “?
• Læs dette indlæg til definitionen af en skruevektor.

Lad os tænke over, hvad der ville ske, hvis kraften var ikke en vektor.

Bemærk først, at:

Fysikens love er uændrede i rummet. Et objekt opfører sig på samme måde, når det handles af en styrke, hvad enten det er i Paris eller i Beijing.

Desuden bemærker vi:

Fysikens love er uforanderlige under rumlig rotation. At sparke en fodbold vil få det til at forsvinde fra dig uanset om du er mod vest eller øst.

Forestil dig nu, at vi påførte en kraft på en kugle, der hvilede på et bord. Lad os sige, at vi observerer det:

Bolden begynder at rulle mod øst med en hastighed på 1 m / s.

Vent. Hvor kom “øst” fra? Hvorfor ruller ikke kuglen vest ? Derfor konkluderer vi naturligvis:

Der skal være nogle yderligere oplysninger inde i den kraft, vi påførte bolden.

Denne yderligere information er retning .

I henhold til Newtons 2. bevægelseslov er kraften, der virker på et legeme, proportional med hastigheden for ændring af momentum og er i den retning, hvor kraften anvendes. Nu fra udsagnet kan du se, at kraften har en størrelse og en retning. Derfor er det en vektor. Du kan endda se det som punktproduktet af masse (skalar) og acceleration (vektor), som giver dig en vektor.