Jeg har ofte læst, at metaller, der er Fermi-væsker, skal have en resistivitet, der varierer med temperaturen som $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Jeg antager, at $ T ^ 2 $ -delen er modstanden på grund af elektron-elektron-interaktioner, og den konstante term skyldes spredning af urenhed.
Er der et simpelt argument for at vise dette? Eller måske kunne du henvise mig til en god reference?
Det ser også ud til, at for elektron-elektron-interaktioner at indføre en endelig resistivitet, er det nødvendigt med en umklapp-spredning (for at bryde galilensk og translationel invarians). Er dette korrekt? Hvilke af disse symmetrier (galileiske eller translationelle) skal brydes?
Kommentarer
- Jeg leder efter et bedre svar, men min enkle forståelse er som følger: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. Og $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ er det, der definerer Fermis flydende opførsel.
- $ T ^ 2 $ skalering har brug for både Umklapp og elektron-elektron spredning. Effektivt deltager en $ O (kT) $ -nærhed af Fermi-overfladen for kvasipartikler i interaktionerne, hvilket indebærer skalering, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: At ‘ er det, jeg tænkte også, men hvor kommer umklappen ind?
- Har nogen nogle gode referencer om beregningen af umklapp-effekten i Fermi-væsketeorien?
- Der er nogle enkle ” fase-rum ” argumenter at motivere $ T ^ 2 $ afhængighed; er du stødt på dem, @jjj?
Svar
Hvordan elektron-elektron-interaktion fører til en $ T ^ {2} $ afhængighed kan forklares ved at forstå de begrænsninger, der er placeret på elektron-elektron spredning ved bevarelse af momentum og eksklusionsprincippet.
Overvej fermi-overfladen af en elektrongas i 3D. Fermi-overfladen er en kugle med radius $ k_ {f} $. Ved endelige temperaturer besætter elektroner stater uden for Fermi-overfladen styret af Fermi Dirac-ligningen, karakteriseret af en skal uden for Fermi-sfæren med en radius, der er proportional med temperaturen. Der er derfor tomme tilstande inden for Fermi-sfæren inden for en skal af samme radius.
Hvis vi tænder elektron-elektron-interaktioner med små interaktionsstyrker, kan vi betragte det som spredning af elektroner mellem disse tilstande i ovenstående ikke-interagerende billede. Elektroner, der er Fermions, kan kun besætte tilstande, der ikke allerede er besat, sammen med tilfredsstillende bevarelse af momentum. Således er vi nødt til at vælge to elektroner, som begge er på skaller med en radius, der er proportional med T, på hver side af overfladen af radius $ k_ {f} $, så man kan sprede sig i en tom tilstand uden for $ k_ {f} $ overflade og den anden i en tom tilstand i skallen inde i $ k_ {f} $ overfladen. Sandsynligheden for at vælge to sådanne elektroner er således proportional med $ T ^ 2 $.
Da bidraget til resistivitet er proportionalt med sandsynligheden for disse spredningshændelser, fører disse interaktioner til $ T ^ 2 $ afhængighed i resistivitet.
Der er strengere argumenter, men jeg synes, det giver et intuitivt billede, gyldigt i sammenhæng med svage interaktioner og lav temperatur.
Svar
Eller måske kan du henvise mig til en god reference?
Detaljerne bag følgende svar kan findes i følgende arXiv papir (og referencer deri) arXiv: 1109.3050v1 .
Er der et enkelt argument til at vise dette?
Det ser ikke ud, men jeg kan sige følgende. ledningsevne på grund af elektron-elektron kollisioner er generelt givet af: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ hvor $ \ sigma $ er den elektriske ledningsevne, $ n $ er elektrontalletætheden, $ e $ er grundlæggende ladning , $ m $ er elektronmasse , og $ \ tau_ {coll} $ er den gennemsnitlige kollisionstidsskala (eller afslapningshastighed). Bemærk, at modstandsdygtighed , $ \ eta $, bare er det omvendte af ledningsevnen i den skalære tilnærmelse.
For en Landau-Fermi-væske kan den gennemsnitlige afslapningshastighed for elektroner på en Fermi-overflade vises til at være: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ hvor $ \ alpha $ er effektiviteten af momentumoverførsel til det ioniske gitter som en dimensionsløs størrelse, der tilfredsstiller $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ er Boltzmann-konstant , $ \ hbar $ er Planck-konstant , $ W \ venstre (\ theta, \ phi \ right) $ er sandsynligheden for overgang til uelastisk spredning.
Citering fra det refererede arXiv-papir ovenfor:
Dog det faktum, at et fast stof ikke har fuld oversættelsessymmetri, har vigtige konsekvenser. Allerede i 1937 demonstrerede Baber en mekanisme for begrænset modstand i en tobåndsmodel, hvor $ s $ elektroner er spredt fra tungere $ d $ huller ved en screenet Coulomb-interaktion … enkeltbånds Umklapp-processer tillader momentumoverførsel til krystalkoordinatsystem …
hvor Umklapp-processer henviser til elektron- fonon og / eller fonon-fononspredning i et gitter. Forfatterne viser også, at udtrykket i vinkelparenteserne kan integreres i følgende: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ til højre)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ hvor $ \ lambda _ {\ tau} $ er en dimensionsløs parameter, der beskriver interaktionen effektiv i polaron -polaron-spredning og $ \ epsilon_ {F} * $ er Fermi-energi af polaronerne. Efter en lille algebra kan vi vise, at: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Således er resistiviteten proportional med $ \ eta \ propto T ^ {2} $.