Dette er en lav nøjagtighed – men alligevel enkel – svar

Det giver dig kun mulighed for at beregne radial justeringskonfiguration af planeterne.

Hvis du vil have en tilnærmelse, lad os sige, du tilnærmer planetenes position som hænder i et ur, kan du regne matematikken ud ved noget som dette.

Antag $ \ theta_i $ er den indledende vinkel for planeten $ i $ på tidspunktet $ t_0 $ – målt ud fra en vilkårlig, men fast position, og $ l_i $ er længden af året – i dage – for planeten $ i $.

Derefter genoptages det at løse dette ligningssystem:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Herfra vil du blot anvende Kinesisk restsætning .

At finde minimum x giver dig den vinkel, som planeten, der ved $ t_0 $ havde vinkel $ \ theta_i = 0 $, ville have rejst, indtil en justering -konfiguration blev nået. EN når du opsummerer, vælger du Jorden som den nævnte planet, så dividerer du denne vinkel med en komplet revolution ($ 360 ^ {o} $), og du får det antal år, hvor denne konfiguration skal nås – fra $ t_0 $ -konfigurationen.

De forskellige $ \ theta_i $ i grader for alle planeter den 1. januar 2014 – du kan bruge dette som din $ t_0 $:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Kilde

De forskellige $ l_i $ i dage for alle planeterne:

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Endelig under et heltal værdier aproximation og bruger dette online-løsning for ligningssystemet svaret er $ x = 4.0384877779832565 \ gange 10 ^ {26} $ som divideret med $ 360 ^ {o} $ giver dig ca. $$ 1.1218 \ gange 10 ^ {24} \ quad \ text { år} $$

Rediger 1

Fandt lige dette websted , du måske vil lege med. Det er en interaktiv flashapplikation med planetenes nøjagtige position.

Jeg ved også, at al information kan fås fra denne NASA-side og det er så nøjagtigt, du kan få, men det er bare uforståeligt for mig nu. Jeg vil prøve at revidere det senere, når jeg finder tid.

Også denne bog af Jean Meeus kaldet Astronomical Algorithms dækker alle de grundlæggende euqationer og formler – det har dog intet at gøre med programmeringsalgoritmer.

Edit 2

Seeing at du er programmør, kan det være værd for dig at tjekke NASA-webstedet, som jeg nævnte ovenfor, dataene til alle planeterne kan endda fås via $ \ tt {telnet} $.Eller dette Sourceforge-websted , hvor de har implementeringer til mange af ligningerne beskrevet i bogen, der også er nævnt ovenfor.

Kommentarer

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ fungerer det samme i kommentarer. Jeg tror, din tilgang er den bedste, du kan gøre uden overdrevne simuleringer. Alt hvad du skal gøre er at indsætte de faktiske data; det har været den del, der fik mig til at tøve med at give et svar.
• @Gerald åh, jeg troede, at markering af ligninger ikke fungerede ‘ i kommentarer. Ja, jeg ‘ mangler dataene, især $ \ theta_i $. Jeg vil tilføje de forskellige $ l_i $ -oplysninger.
• Hvordan kunne solarsystemskopet vise planetenes nøjagtige relative positioner, når deres afstand til solen ikke er korrekt? Det kan muligvis vise hver planets position i forhold til solen korrekt isoleret og således være godt for dette spørgsmål, men ikke for at finde sammenhænge.
• @LocalFluff Det er sandt. Dette giver kun svar på radial justeringskonfigurationer. Redigeret.
• Der er flere fejl i dette svar. Først ved at bruge alle cifre i dine tabeller (hvilket indebærer konvertering til centidgrees og helligdage) får jeg faktisk $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (fra det samme onlineværktøj), hvilket beløber sig til $ 1,29 \ times10 ^ {33 } $ år Jeg ved ikke ‘ hvordan du opnåede den lavere værdi, men jeg formoder stærkt, at du har udeladt nogle cifre. For det andet viser dette, at når der tilføjes flere cifre, har løsningen tendens til uendelig: det korrekte svar er: radial justering forekommer aldrig . Endelig forudsat at planeterne ‘ baner følger denne enkle bevægelse, er det bare forkert .

Det rigtige svar er “ aldrig “, i flere grunde. Første , som påpeget i Florins kommentar, er planetens kredsløb ikke med plan og kan derfor umuligt justeres , selvom hver planet kunne placeres vilkårligt i sit orbitale plan. Andet , selv ren radial tilpasning sker aldrig, fordi planetens perioder er uforlignelige – deres nøgletal er ikke rationelle tal. Endelig , planeternes kredsløb udvikler sig over tidsskalaer på millioner af år, hovedsageligt på grund af deres gensidige tyngdekraft trække. Denne udvikling er (svagt) kaotisk og dermed uforudsigelig i meget lange tider.

forkert svar fra harogaston tilnærmer sig i det væsentlige kredsløbets perioder med nærmeste værdifulde tal, hvilket giver meget lang tid (skønt han fik det forkert med en faktor på kun $ 10 ^ {16} $).

Et meget mere interessant spørgsmål (og måske det, du faktisk var interesseret i ) er hvor ofte de 8 planeter næsten stemmer overens radialt . Her kan “ næsten ” simpelthen betyde “ inden for $ 10 ^ \ circ $ set fra solen “. Ved en sådan lejlighed vil planets gensidige tyngdekraft trække hinanden og dermed resultere i stærkere kredsløbsændringer end gennemsnittet.

Ethvert skøn over den fælles periode på mere end to planeter (dvs. efter hvor lang tid justerer de sig omtrent i heliocentrisk længdegrad igen?) afhænger meget stærkt af, hvor meget afvigelse fra perfekt tilpasning er acceptabel.

Hvis perioden for planet $ i $ er $ P_i $, og hvis den acceptable afvigelse i tiden er $ b $ (i de samme enheder som $ P_i $), så er den samlede periode $ P $ på alle $ n $ planeter er ca. $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, så at reducere den acceptable afvigelse med en faktor 10 betyder at øge den fælles periode med en faktor på $ 10 ^ {n-1} $, hvilket for 8 planeter er en faktor på 10.000.000. Så det er meningsløst at citere en fælles periode, hvis du ikke også angiver, hvor meget afvigelse var acceptabel. Når den acceptable afvigelse falder til 0 (for at opnå “perfekt tilpasning”), så stiger den fælles periode til uendelig. Dette svarer til adskillige kommentatorer “erklærer, at der ikke er nogen fælles periode, fordi perioderne ikke er forholdsmæssige.

For planeterne” perioder angivet af harogaston, $ \ prod_i P_i \ ca. 1,35 \ times10 ^ 6 $ når $ P_i $ måles i julianske år på 365,25 dage hver, så den fælles periode i år er cirka $$ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ hvis $ b $ også måles i år. Hvis perioderne tilnærmes til nærmeste dag, så $ b \ ca. 0,00274 $ år og $ P \ ca. 1,2 \ times10 ^ {24} $ år. Hvis perioderne tilnærmes til nærmeste 0,01 dag, så $ b \ ca. 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ og $ P \ ca. 1,2 \ times10 ^ {38} $ år.

Afledningen af ovenstående formel er som følger:

Omtrentlig planeterne “perioder med multipla af en basisenhed $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ hvor $ p_i $ er et helt tal. Derefter er den fælles periode højst lig med produktet af alle $ p_i $. Dette produkt måles stadig i enheder på $ b $; vi skal gange med $ b $ for at gå tilbage til de oprindelige enheder. , den fælles periode er ca. $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Ovenstående afledning tager ikke højde for, at $ p_i $ kan have fælles faktorer, så justeringen finder sted hurtigere end $ \ prod_i p_i $ antyder. Hvorvidt to $ p_i $ har fælles faktorer eller ej, afhænger dog stærkt af den valgte basisperiode $ b $, så det er faktisk en tilfældig variabel og påvirker ikke den globale afhængighed af $ P $ på $ b $.

Hvis du udtrykker acceptabel afvigelse med hensyn til vinkel snarere end tid , så forventer jeg, at du får svar, der afhænger af størrelsen på den acceptabele afvigelse stærkt som for ovenstående formel.

Se http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html for en graf på $ P $ som en funktion af $ b $ for alle planeter inklusive Pluto.

EDIT:

Her er et skøn med acceptabel afvigelse med hensyn til vinkel . Vi ønsker, at alle planeter skal være inden for et breddeområde af bredden $ δ $ centreret om længden af den første planet; længden af den første planet er fri. Vi antager, at alle planeter bevæger sig i samme retning i cirkulære kredsløb omkring Solen.

Fordi planeterne ” perioder er ikke rimelige, alle kombinationer af planetenes længdegrader forekommer med samme sandsynlighed. Sandsynligheden $ q_i $, at længden af planeten $ i > 1 $ på et bestemt tidspunkt er inden for segmentet af bredden $ δ $ centreret på længden af planeten 1 er lig til $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Sandsynligheden $ q $ for, at planeterne 2 til og med $ n $ alle ligger inden for det samme segment af længdegrad centreret på planet 1 er derefter $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

For at oversætte denne sandsynlighed til en gennemsnitlig periode, skal vi estimere, hvor lang tid alle planeter er justeret (inden for $ δ $) hver gang de er justeret.

De to første planeter, der mister deres gensidige tilpasning, er de hurtigste og langsomste af planeterne. Hvis deres synodiske periode er $ P _ * $, vil de være i justering i et interval $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ og derefter ude af justering i et stykke tid, før de kommer i justering igen Så hver opretning af alle planeter varer omkring et interval $ A $, og alle disse opstillinger dækker tilsammen en brøkdel $ q $ af hele tiden. Hvis den gennemsnitlige periode, hvorefter en anden opretning af alle planeter opstår, er $ P $, så vi skal have $ qP = A $, så $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Hvis der kun er to planeter, så er $ P = P _ * $ uanset $ δ $, hvilket er som forventet.

Hvis der er mange planeter, er den hurtigste planet meget hurtigere end den langsomste, så da er $ P _ * $ næsten lig med omløbstiden for den hurtigste planet.

Også her er estimatet for den gennemsnitlige tid mellem på hinanden følgende justeringer meget følsom over for den valgte afvigelsesgrænse (hvis der er mere end to planeter involveret), så det er meningsløst at citere en sådan kombineret periode hvis du ikke også nævner, hvilken afvigelse der var tilladt.

Det er også vigtigt at huske, at (hvis der er mere end to planeter) disse (næsten-) justeringer af dem alle ikke forekommer regelmæssigt intervaller.

Lad os nu sætte nogle numre i. Hvis du vil have, at alle 8 planeter skal justeres inden for 1 længdegrad, er den gennemsnitlige tid mellem to sådanne opstillinger omtrent lig med $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ baner på den hurtigste planet. For solsystemet er kviksølv den hurtigste planet med en periode på ca. 0,241 år, så den gennemsnitlige tid mellem to opretninger af alle 8 planeter inden for 1 længdegrad er ca. $ 5 × 10 ^ {14} $ år.

Hvis du allerede er tilfreds med en tilpasning inden for 10 længdegrader, så er den gennemsnitlige periode mellem to sådanne opstillinger omtrent lig med $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ kredsløb af kviksølv, 500 millioner år.

Hvad er den bedste tilpasning, som vi kan forvente i de kommende 1000 år? 1000 år er omkring 4150 kredsløb af kviksølv, så $ (360 ° / δ) ^ 6 \ ca. 4150 $, så $ δ \ ca. 90 ° $. I et tilfældigt interval på 1000 år er der i gennemsnit en justering af alle 8 planeter inden for et segment på 90 °.

Teknisk set er den sande måde at finde perioden mellem justering af alle 8 planeter på at finde LCM for alle 8 af deres årslængder.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Jeg forstår, at dette er et groft skøn, da disse er afrundet til nærmeste heltal, men det giver en god idé af det antal dage, det ville tage.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Det er hvor mange år.

Kommentarer

• Dette synes at være den samme metode som beskrevet i Henvender sig til ‘ s svar r .