Læge ' s forklaring og forståelse af Einstein ' s feltligninger

Einsteins ligninger kan løst opsummeres som hovedforholdet mellem materie og rumtids geometri . Jeg vil forsøge at give en kvalitativ beskrivelse af, hvad hvert udtryk i ligningen betyder. Jeg bliver dog nødt til at advare potentielle læsere om, at dette ikke er et kort svar. Desuden vil jeg afstå fra at forsøge at udlede ligningerne på ” elementær ” måde, da jeg bestemt ikke kender nogen.

Matter

På højre side af ligningen tion, det vigtigste er udseendet af energi-momentum tensor $ T _ {\ mu \ nu} $ . Det koder nøjagtigt, hvordan sagen – forstået i bred forstand, dvs. enhver energi (eller masse eller momentum eller tryk), der bærer medium — fordeles i universet. For at forstå, hvordan man fortolker abonnementsindekserne for $ T $ , se min forklaring på metrisk tensor nedenfor.

Den ganges med nogle grundlæggende naturkonstanter $ \ Big ($ faktoren $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ men dette er ikke af afgørende betydning: Man kan se dem som bogføringsværktøjer, der holder styr på enhederne af de mængder, der er relateret til ligningen. Faktisk tager professionelle fysikere typisk friheden at omdefinere vores måleenheder for at forenkle udseendet af vores udtryk ved at slippe af med irriterende konstanter som denne. En særlig mulighed ville være at vælge ” reducerede Planck-enheder “, hvor $ 8 \ pi G = 1 $ og $ c = 1 $ , så faktoren bliver $ 1 $ .

Differential g eometri

På venstre side af Einsteins ligninger finder vi et par forskellige udtryk, som sammen beskriver rumtidens geometri. Generel relativitetsteori er en teori, der bruger den matematiske ramme kendt som (semi-) Riemannian geometri . I denne gren af matematik studerer man rum, der i en vis forstand er glatte , og som er udstyret med en -måling . Lad os først prøve at forstå, hvad disse to ting betyder.

Egenskaben for glathed kan illustreres ved det intuitive (og historisk vigtige!) Eksempel på en glat (todimensionel) overflade i almindeligt tredimensionelt rum . Forestil dig for eksempel overfladen af en idealiseret fodbold, dvs. en 2-kugle. Hvis man nu fokuserer opmærksomheden på et meget lille plaster på overfladen (hold bolden op til dit eget ansigt), ser det ud til at bolden er temmelig flad. Det er dog naturligvis ikke globalt fladt. Uden hensyn til matematisk strenghed kan vi sige, at rum, der har denne egenskab at fremstå lokalt flade, er glatte i en eller anden forstand. Matematisk kalder man dem mangfoldige. Selvfølgelig er en globalt flad overflade, såsom et uendeligt ark papir, det enkleste eksempel på et sådant rum.

I Riemannian geometri (og differentiel geometri mere generelt) studerer man sådanne glatte rum (manifolder) med vilkårlig dimension. En vigtig ting at indse er, at de kan studeres uden at forestille sig, at de er indlejret i et højere dimensionelt rum, dvs. uden visualisering, vi var i stand til at bruge med fodbolden, eller nogen anden henvisning til kan eller ikke være ” uden for ” selve rummet.Man siger, at man kan studere dem, og deres geometri iboende .

Metricen

Når det kommer til iboende undersøgelse af manifoldernes geometri, er genstand for undersøgelse er metricen (tensor). Fysikere betegner det typisk med $ g _ {\ mu \ nu} $ . På en eller anden måde giver det os en opfattelse af afstand på manifolden. Overvej et todimensionelt manifold med metrisk, og læg et ” koordinatgitter ” på det, dvs. tildel til hvert punkt et sæt på to numre $ (x, y) $ . Derefter kan metricen ses som en $ 2 \ gange 2 $ matrix med $ 2 ^ 2 = 4 $ poster. Disse poster er mærket med abonnementene $ \ mu, \ nu $ , som hver kan vælges til at være lig med $ x $ eller $ y $ . Metricen kan derefter forstås som en række tal:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Vi bør også sig, at metricen er defineret således, at $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , dvs. at den er symmetrisk med hensyn til dens indekser. Dette indebærer, at i vores eksempel $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Overvej nu to punkter, der er i nærheden, således at forskellen i koordinater mellem de to er $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Vi kan betegne dette i kortformat som $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ hvor $ \ mu $ er enten $ x $ eller $ y \;, $ og $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ og $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Derefter definerer vi kvadratet for afstanden mellem de to punkter, kaldet $ \ mathrm {d} s \;, $ som

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

For at få en ide om, hvordan dette fungerer i praksis, lad os se på et uendeligt to- dimensionelle flade rum (dvs. ovennævnte ark papir) med to ” standard ” plankoordinater $ x, y $ defineret på det med et firkantet gitter. Derefter ved vi alle fra Pythagoras “sætning, at

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Dette viser, at i dette tilfælde er den naturlige måling på fladt todimensionelt rum givet af

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ start {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Nu hvor vi vidste, hvordan man ” måler ” afstande mellem nærliggende punkter , kan vi bruge en typisk teknik fra grundlæggende fysik og integrere små segmenter for at opnå afstanden mellem punkter, der fjernes yderligere:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralisering til højere dimensioner er ligetil.

Krumningstensorer

Som jeg forsøgte at argumentere i ovenstående, definerer den metriske tensor geometrien af vores manifold (eller rumtid, i det fysiske tilfælde) . Især skal vi være i stand til at udtrække al relevant information om manifoldens krumning fra den. Dette gøres ved at konstruere Riemann (krumning) tensor $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , som er et meget kompliceret objekt, der analogt med array-visualiseringen af metricen kan betragtes som et firedimensionelt array, hvor hvert indeks er i stand til at tage $ N $ værdier, hvis der er $ N $ koordinater $ \ { x ^ 1, \ prikker x ^ N \} $ på manifolden (dvs. hvis vi har at gøre med et $ N $ -dimensionelt rum). Den er defineret udelukkende med hensyn til metricen på en kompliceret måde, der ikke er alt for vigtig for nu. Denne tensor indeholder stort set al information om krumningen af manifolden — og meget mere end os fysikere typisk er interesseret i. Imidlertid er det nogle gange nyttigt at se godt på Riemann-tensoren, hvis man virkelig vil vide, hvad der foregår.For eksempel garanterer en overalt forsvindende Riemann-tensor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garantier at rumtiden er flad. Et berømt tilfælde, hvor sådan en ting er nyttigt, er i Schwarzschild-metricen , der beskriver et sort hul, som synes at være ental i Schwarzschild-radius $ r = r_s \ neq 0 $ . Efter inspektion af Riemann-tensoren bliver det tydeligt, at krumningen faktisk er endelig her, så man har at gøre med en koordinat singularitet snarere end en ” reel ” gravitationel singularitet.

Ved at tage visse ” dele af ” Riemann-tensoren, vi kan kassere nogle af de oplysninger, den indeholder til gengæld for kun at skulle håndtere et enklere objekt, Ricci-tensoren:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ prikker x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Dette er en af de tensorer, der vises i Einstein-feltligningerne. det andet udtryk af ligningerne indeholder Ricci skalar $ R $ , som defineres ved endnu en gang kontrahering ( et smukt ord for “, der opsummerer alle mulige indeksværdier for nogle indekser “) Ricci-tensoren, denne gang med invers metric $ g ^ {\ mu \ nu} $ som kan konstrueres ud fra den sædvanlige metric ved hjælp af ligningen

$$ \ sum _ {\ nu \ i \ {x ^ 1, \ prikker, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ tekst {if} \ mu = \ rho \ \ text {og} 0 \ \ text {ellers} $$

Som lovet er Ricci skalar sammentrækning af Ricci tensor og invers metric:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Selvfølgelig indeholder Ricci-skalaren endnu en gang mindre information end Ricci-tensoren, men den er endnu nemmere at håndtere Du skal blot gange det med $ g _ {\ mu \ nu} $ resulterer igen i et todimensionelt array, ligesom $ R _ {\ mu \ nu} $ og $ T _ {\ mu \ nu} $ er. Den særlige kombination af krumningstensorer, der vises i Einstein-feltligningerne, er kendt som Einstein-tensor

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Den kosmologiske konstant

Der er et udtryk, som vi hidtil har udeladt: Det kosmologiske konstante udtryk $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Som navnet antyder, er $ \ Lambda $ simpelthen en konstant, der multiplicerer metricen. Dette udtryk sættes undertiden på den anden side af ligningen, da $ \ Lambda $ kan ses som en slags ” energiindhold ” i universet, som måske er mere passende grupperet med resten af sagen, der er kodificeret af $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Den kosmologiske konstant er hovedsageligt af interesse, fordi den giver en mulig forklaring på den (i) berømte mørke energi der synes at tegne sig for visse vigtige kosmologiske observationer. Hvorvidt den kosmologiske konstant virkelig er ikke-nul i vores univers, er et åbent emne, ligesom det forklares, hvilke værdiobservationer der antydes for det (det såkaldte kosmologiske konstante problem aka ” den værste forudsigelse af teoretisk fysik nogensinde gjort “, en af mine personlige interesser).

---

PS. Som påpeget i kommentarerne, hvis du nød dette, kan du også lide at læse dette spørgsmål og svarene på det, som adresserer den anden vigtig ligning af generel relativitet, som beskriver bevægelsen af ” testpartikler ” i buede rumtider.

Einsteins ligning relaterer stofets indhold (højre side af ligningen) til geometrien (venstre side) af systemet. Det kan sammenfattes med “masse skaber geometri, og geometri fungerer som masse”.

For flere detaljer, lad os overveje, hvad en tensor er. En to-indeks tensor (hvilket er, hvad vi har i Einsteins ligning), kan betragtes som et kort, der tager en vektor ind i en anden vektor. F.eks. Tager stressenergitensoren en positionsvektor og returnerer en momentvektor (matematisk, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, og jeg blander vektorer og co-vektorer overalt for at forenkle diskussionen). Fortolkningen er, at højre side af Einsteins ligning fortæller os det momentum, der passerer gennem en overflade defineret af positionsvektoren.

Venstre side kan også fortolkes på denne måde. Ricci-krumningen $ R _ {\ mu \ nu} $ tager en positionsvektor og returnerer en vektor, der fortæller os, hvor meget krumningen ændrer sig gennem overfladen defineret af $ \ vec {x} $. Det andet og tredje udtryk, der begge har faktorer for metricen $ g _ {\ mu \ nu} $, fortæller os, hvor meget afstandsmålinger der ændres, når man bevæger sig langs vektoren. Der er to bidrag til denne ændring i afstanden – den skalære krumning $ R $ og $ \ Lambda $. Hvis $ R _ {\ mu \ nu} $ er “krumning i en enkelt retning”, er $ R $ den “samlede krumning”. $ \ Lambda $ er en konstant, der fortæller os, hvor meget medfødt energi det tomme rum har, hvilket gør alle afstande større for $ \ Lambda > 0 $.

Så , at læse ligningen fra højre mod venstre, “Einsteins ligning fortæller os, at momentum (bevægende masse) forårsager både krumning og en ændring i, hvordan afstande måles.” Læsning fra venstre mod højre, “Einsteins ligning fortæller os, at krumning og ændring afstand fungerer ligesom bevægende masse. “

Kommentarer

• Wow – fantastisk forenklet forklaring.
• @levitopher Hvorfor det ‘ kaldes ” stress ” i stressenergi?
• Det var dette OK: da.wikipedia.org/wiki/Stress_(mekanik)

Trin til trin afledning af Einstein feltligninger (EFE) på min blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Betydning af EFE (af Wheeler): “Rumtid fortæller stof, hvordan man bevæger sig, stof-energi fortæller rumtid, hvordan man kurver”

Enkle ord for EFE: “Geometri” = “Krumning” (ingen vridning i generel relativitet betyder, at energimomentet er symmetrisk, da det viser sig at være tilfældet med metricen, Ricci tensor og Einstein-tensoren).

En mere seriøs betydning er følgende:

-Vensterhåndsside: Einstein tensor er lavet af to stykker (tre hvis du tæller det kosmologiske udtryk). De måler krumningen forårsaget af en lokal rumtidsmåling, der ikke er konstant målt ved krumningens skalar og Ricci-tensoren, der kombineres på den måde, som Einstein (og Hilbert) gjorde, giver en divergenceløs strøm (dvs. bevarelse af energimomentum ved at sidestille med højre side).

-Højrehånds side: energimoment i felter, hvilket får rumtid til at ske / kurve / bøjning. Du kan føje det kosmologiske udtryk til denne side og derefter døbe mørk energi … Det giver, at mørk energi på en eller anden måde er (med en vis omhu) energien i vakuum rumtid. Og vi tror, at det ikke kun er ikke-nul, men også den vigtigste kosmiske ingrediens, der fremstiller stof-energi i øjeblikket (ca. 70%, WMAP + PLANCK-satellitter synes at være enige i dette …).