Hvad er den mest generelle form for bølgeligning? Er det $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Kan for eksempel $ \ frac {\ delvis ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ være en bølgeligning? Hvis ja, hvad er løsningen i så fald.
Svar
Jeg er ikke sikker på, hvad du mener med $ cte $ , men jeg antager, at det er noget konstant, men jeg fortolker forkert
Vi taler ofte om to klasser af differentialligning, homogen og inhomogen. Denne skelnen er roden til dit spørgsmål, \ begynder {ligning } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {ligning} er den homogene form af bølgeligning, mens \ begin {ligning} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {ligning} er den inhomogene bølgeligning ($ u (\ vec {r}, t) $ kan også være konstant, hvis vi vil). Dette opstår overalt. Et eksempel er, at elektromagnetisk stråling i nærvær af ladninger og strømme styres af den inhomogene bølgeligning, den homogene form er kun gyldig, når $ \ rho = 0 $ og $ \ vec {J} = 0 $. Afhængigt af hvem du spørger, tror jeg, at de fleste stadig vil sige det inhom ogenøs bølgeligning er en bølgeligning, men det er op til smag, da det er løsninger, der kan ende med at have en meget anden karakter end de homogene.
Generelt er der ikke meget, jeg kan sige om disse løsninger, da de “afhænger meget af formen af $ u $, selvom jeg er sikker på, at nogle googling giver dig masser af eksempler.
Kommentarer
- Perfekt. Og hvad med dæmpet bølgeligning? Hvad er dens form?
Svar
Mason håndterede sondringen mellem inhomogene og homogene differentialligninger, men hvis en taler om den mest generelle form for bølgeligning, det er,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ prikker i_m} _ {j_1 \ prikker j_n} (x) $$
hvor begge felter er rang $ (m, n) $ tensorer, handlet af Laplace-Beltrami-operatøren $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ hvis handling på tensorerne afhænger af både metricen og deres rang. For et skalarfelt med metrisk $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ reduceres det til den mest velkendte form for bølgeligning, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Ovenstående kan også omarbejdes på sproget med forskellige former.)
På en måde dækker dette dog ikke alle muligheder. For eksempel, i generel relativitet, for en forstyrrelse $ h_ {ab} $ for metricen, er den første ordensændring i krumningen,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ kvadrat h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
som forstås som den buede plads “bølgeoperator” i litteraturen, fordi den bestemt tillader bølgeløsninger, men er tydeligvis ikke ækvivalent med bølge ligningen ovenfor, da den indeholder andre udtryk, der involverer krumningstensorer. Således er den “mest generelle form” af bølgeligningen ikke noget, vi virkelig kan skrive ned, medmindre din idé om det er strengt $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
