Tidligere har jeg teoretisk beregnet hastigheden på en bb, accelereret af lufttryk, når den kommer ud af en tønde. Kort sagt, jeg beregnede min hastighed til at være omkring 150m / s. Jeg ønskede dog en mere realistisk hastighed. Jeg kiggede på trækligningen og forsøgte at anvende den for at få en mere realistisk hastighed, men jeg synes ikke mit svar er korrekt. Det var det, jeg brugte:
$ F_d = \ frac {1} {2} pv ^ 2C_DA $
$ p $ = væskemassefylde (luft) = 1,23 kg / $ m ^ 3 $
$ v $ = strømningshastighed i forhold til fluid = 150m / s
$ C_D $ = trækkoefficient = .47 (for en sfære)
$ A $ = referenceområde = $ \ pi * (0,003m) ^ 2 $ = 2.827 * 10 $ ^ {- 5} m ^ 2 $ (tværsnit af en 6 mm bb)
$ F_d $ = $ \ frac {1} {2} * \ frac {1.23Kg} {m ^ 3} * (\ frac {150m} {s}) ^ 2 * 2,87 * 10 ^ {- 5} m ^ 2 $
$ F_d $ = $ \ frac {.184 Kg * m} {s ^ 2} $ = $ .184N $
mit svar viste sig at være .18N af kraft. I betragtning af at kraften på bb fra lufttrykket er 14N, ville luftfriktionen kun sænk bb mindre end 1%. Er der noget, jeg laver forkert, fordi det ser ud til, at en bb sænker betydeligt med den afstand, den kører? Er der også nogen måde at redegøre for det stigende eksterne lufttryk, der skubber tilbage på bb, når det komprimerer luften, mens den accelererer gennem tønden?
Kommentarer
Svar
Hvis vi idealiserer scenariet nok, er dette en simpel øvelse i differentialligninger, så lad os komme i gang. For det første ved vi, at det indledende hastighed er $ 150 \ text {m / s} $, men det er på ingen måde dets endelige hastighed – selvfølgelig er bb sænkes, når den bevæger sig gennem luften! Lad os antage, at i det øjeblik bb kommer ud af tønden, skubbes den ikke længere (som Steevan påpegede). Så den eneste kraft, der virker på den, er luftmodstand. Så spørgsmålet er, hvorfor sænker bb betydeligt med tilbagelagt afstand – vi kan bestemme dette nøjagtigt, forudsat at modellen er korrekt.
Nu er den model, du bruger (tilsyneladende) til luftmodstand, angivet som
$$ F_d = \ frac {1} {2} pv ^ 2C_DA. $$
Vi vil se, hvordan hastigheden ændres som en funktion af afstanden! Men vi kender Newtons anden lov, så vi kan skrive, at
$$ F = m \ frac {dv} {dt} = m \ frac {dv} {dx} \ frac {dx} {dt} = mv “v $$
hvor $ v $ nu er en funktion af afstand (dette bruger kædereglen – håber du er fortrolig med det!).
Nu kan vi skrive vores differentialligning:
$$ mv “v = – \ frac {1} {2} pv ^ 2 C_DA. $$
Bemærk – der er et negativt tegn der, fordi kraften modsætter sig bevægelsesretningen. Det vil sige kraft peger baglæns, og partiklen har en positiv (f eller fremad) hastighed. Forenkling får vi
$$ v “= – \ frac {1} {2m} pC_DAv. $$
Nu er dette en simpel differentialligning at løse: vi adskiller variabler, dvs. $ \ frac {v “} {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA, $ og derefter gøre noget mere kæde regel magi, vi ender med
$$ \ frac {dv } {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA \, dx. $$
Nu kan vi integrere begge sider og finde vores løsning:
$$ \ int_ {v (0)} ^ {v (x)} \ frac {dv} {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA \ int_0 ^ x dx, $$ eller $$ v (x) = v ( 0) \ exp {\ left (- \ frac {1} {2m} pC_DA x \ right)}. $$ Endelig kan vi tilslutte den oprindelige tilstand, at ved $ x = 0 $ er hastigheden $ 150 \ text {m / s} $:
$$ v (x) = (150 \ text {m / s}) \ exp {- \ left (\ frac {1} {2m} pC_DA x \ right $$
Endelig, for et numerisk svar, vil du måske tilslutte dine kendte konstanter. Desværre skal du kende massen af bb til dette. Af hensyn til argumentet antager vi en masse på $ 0,12 \ text {g} $, den mest almindelige masse for airsoft bbs, ifølge Wiki – Airsoft Pellets a Så vi kan nu beregne hastigheden på bb, når den bevæger sig, idet vi ved, at $ \ frac {1} {2} pC_D A = 0,00817 \ text {g / m} $!
Så nu vi har en funktion til hastighed:
$$ v (x) = (150 \ text {m / s}) \ exp {(- 0.0681x)}. $$
For eksempel for at finde den afstand, hvormed hastigheden falder med det halve, ville vi løse
$$ 75 \ text {m / s} = (150 \ text {m / s}) \ exp {(- 0,0681x)}, $$
som giver en afstand på ca. 10 meter.
Nu kan du se, hvorfor bb sænkes markant med afstanden – det er eksponentielt henfald, som har tendens for at reducere mængden en stor mængde først, hvor faldet falder over tid (eller i dette tilfælde afstand).
Svar
Du har en anden situation, når bb er inde i bb-pistolens tønde. Forudsat at bben sidder tæt i tønden (og det skal være), er der trykluft, der skubber den. Luften udfører ekspansionsarbejde på bb, når den gør det. På grund af dette skal du bruge det termodynamiske forhold til den involverede proces. Hvis du bruger et konstant volumen højtryksgas til at skubbe bben ud af tønden, vil processen højst sandsynligt være adiabatisk (ingen varmeoverførsel), fordi det sker så hurtigt. Hvis det er tilfældet, se følgende link: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/adiab.html
it seems that a bb slows down significantly with the distance it travelsJeg antager, at du har nogle data for at kunne sige dette – Find ud af disse data, hvad decelerationen faktisk er, og sammenlign med den kraft, du fandt. Måske matcher det