QM-spinoperatoren kan udtrykkes i form af gammamatricer, og jeg prøver at udføre en øvelse, hvor jeg beviser en identitet, der bruger $ \ gamma ^ 5 $ og $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
I mit første forsøg gjorde jeg det direkte i Dirac-repræsentationen, men øvelsen siger, at jeg ikke kan gøre dette, kan nogen rådgive? Er der en eller anden identitet eller et trick, der gør det muligt for mig at gøre dette?
For at afklare er $ \ alpha $ følgende matrix, hvor elementerne, der ikke er nul, er Pauli-matricerne:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
hvor
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Kommentarer
- Hvad er $ \ alpha $ og $ {\ bf S} $ eksplicit?
- Alpha er matrixen, hvis poster ikke er i den førende diagonal, er Pauli-matricer, men ikke sikker på, hvordan det hjælper.
- Hvordan forventer du, at vi hjælper dig med at bevise en identitet uden en klar definition af alle de involverede symboler?
- @Hollis Du kan i det mindste i det mindste sige, hvad $ \ alpha $ skal betyde. Det ' er ikke en standardnotation, som gammamatricerne er.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ er som standard som $ \ gamma $ -matricerne. De fleste standardfysikbøger introducerer $ \ mathbf {\ alpha} $ selv før $ \ gamma $ -matricerne.
Svar
Jeg følger Wikipedia-konventionerne med følgende definitioner $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ $$ hvor $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Når det er sagt, bemærker vi nu $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Eksplicit, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Derefter $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alfa ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Således $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$