Ved nogen, hvad der ville være $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, hvor $ t ^ a $ etc er Gell-Mann matricer? Dette opstod, når man analyserede farvefaktoren for compton-effekten til QCD. Så må være ret almindeligt, men jeg kunne ikke finde en ordentlig reference. Generelt er der nogen henvisning til spor af vilkårligt antal Gell Mann-matricer?
Svar
Jeg tager SU (N) generatorer i den grundlæggende repræsentation normaliseret sådan, at $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Kommutatoren for to generatorer definerer strukturkonstanterne $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Antikommutatoren for to generatorer er
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
hvor jeg med $ 1 $ mener identitetsmatricen og $ d ^ {abc} $ er “d-symbolet” defineret som
$$ d ^ {abc} = 2 \ tekst {Tr} \ venstre [\ venstre \ {T ^ a, T ^ b \ højre \} T ^ c \ højre] $$
Så er der en nyttig identitet
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + hvis ^ {abe} d ^ { cde} + hvis ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Jeg foreslår dig denne reference http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf hvor forskellige sporidentiteter samles. For din sag skal du se på ligning 75 i tillæg B, side 9.
Kontroller normaliseringen af generatorerne, før du bruger denne identitet.
Kommentarer
- Som regel frarådes kun svar aktivt, for hvis linket bliver død, er svaret ubrugeligt. Brug Mathjax til at redigere i de relevante ligninger, så svaret kan stå alene.
- @Angela, hvis dette besvarer dit spørgsmål, skal du markere det som besvaret.