Tolv kugler og en skala

Del dette i n til tre grupper på fire, A1, A2, A3, A4; B1, B2 …; C1, C2 … Hvert trin svarer til en vejning.

• Vejer A mod B.
  • Hvis A> B, vejer A1, B1 og B2 mod B3 , B4 og C1.
    • Hvis vægtene er ens, så er en af A2 … 4 tungere; vejer A2 og A3. Hvis de er ens, er A4 tungere. Hvis man er tungere, så er den bold tungest.
    • Hvis den første gruppe er tungere, er enten A1 tungere, eller B3-4 er lettere. Sammenlign B3 og B4; hvis de er ens, er A1 tungere; hvis de er forskellige, er den letteste den letteste kugle.
    • Hvis den første gruppe er lettere, er enten B1 eller B2 lettere. Vej dem og se.
  • Hvis A < B, omnummerer alle A-kugler til B-kugler og udfør ovenstående trin.
  • Hvis A = B, vejer A1, A2, A3 mod C1, C2, C3
    • Hvis de er ens, vejer du A1 mod C4. Hvis A1 er lettere, er C4 den ulige bold, og den er tung. Hvis A1 er tungere, er C4 den ulige kugle, og den er lys.
    • Hvis A er tungere end C, vejer C1 mod C2. Hvis de er ens, er C3 den ulige bold, og den er lettere. Hvis de ikke er ens, er den lettere af de to kugler den letteste kugle
    • Hvis A er lettere end C, vejes C1 mod C2. Hvis de er lige, er C3 den ulige bold, og den er tungere. Hvis de ikke er ens, er den tungeste af de to kugler den tungeste kugle.

Vi kan arbejde baglæns fra det tredje trin til omtrent at se, hvorfor dette fungerer. Ved den tredje vejning skal mulighederne reduceres til enten to eller tre kugler. Dette betyder, at den anden vejning skal reduceres til enten to eller tre mulige kugler.

Vi ved, at det første trin fjerner enten 1/3 eller 2/3 af de mulige løsninger, uanset hvad du gør. Dette betyder, at i 1/3 tilfælde skal du opdele mulighederne ned fra 8 i en gruppe på 3, en gruppe på 3 og en gruppe på 2. Herfra peger den tredje vejning til den ulige bold ud. Fordi denne sag indebærer, at et sæt kugler er tungere, ved at finde den ulige kugle ud, ved vi, om den er tungere eller lettere, så vi behøver faktisk ikke bekymre os om dette stykke information.

I 2/3 tilfælde skal du reducere mulighederne til en gruppe på 3 og en gruppe på 1, hvilket er let nok til at gøre intuitivt. Da vi faktisk ikke kender den ulige kugles relative vægt i dette tilfælde, skal oplysningerne fra den tredje vejning bruges til at afgøre, om kuglen er tungere eller lettere.

Kommentarer

• Selv om dette svar er korrekt, håbede jeg på et svar, der ville forklare strategien bag valg af emner, der skal vejes.
• @JoeZ. I ‘ har tilføjet lidt om, hvordan jeg har bestemt dette svar, selvom jeg ‘ ikke er sikker på, at jeg kunne tale med en generel løsning på dette problem. (Også FYI, jeg ‘ har redigeret mit svar på dit andet spørgsmål.)
• Det du ‘ har stillet er fint. Jeg tænkte på at ræsonnere mere end strategi, kom og tænk på det igen.

Der er en anden måde at gøre dette problem på, der overhovedet ikke involverer nogen form for betinget forgrening. Det er faktisk muligt at indstille en fast vejeplan på forhånd og stadig bestemme, hvilken kugle der er lettere eller tungere på kun 3 vejninger. Jeg forklarer hvordan nedenfor.

Kernen i problemer som disse er, hvor meget information kan du få fra den procedure, du har lov til at foretage? Med hver vejning kan skalaen enten tippe til venstre, tippe til højre eller forblive afbalanceret.Dette giver dig i alt 3 ³ = 27 mulige resultater, og i dette tilfælde skal du skelne 24 resultater fra dem (en af 12 bolde er enten lette eller tunge, hvilket er 12 × 2 = 24 ).

Så vi er nødt til at starte den kedelige opgave med at kortlægge hvert resultat til et resultat.

En af de ting, vi straks kan bemærke, er at der også er tre stater hver bold kan være inde under hver vejning – på venstre side af skalaen, på højre side af skalaen eller uden for vægten. Dette kortlægges naturligvis til skalaens tilstande på en måde, der er intuitivt analog:

Hvis den ulige bold ud er tungere …

• og bolden er placeret på venstre side, skalaen vælter til venstre.
• og bolden placeres på højre side, skalaen vælter til højre.
• og bolden er uden for skalaen vil skalaen forblive afbalanceret.

Hvis bolden er lettere, er de to første tilfælde inverteret.

Der er 27 mulige måder at placere hver bold på i alle tre vejninger, der hver svarer til et andet resultat, hvis den kugle er den ulige ud. Vi er nødt til at finde et arrangement af kugler, hvor hvert mulige sæt placeringer og dens inverse (for tunge og lette tilfælde) er forskellige – så ingen to kugler er på det samme sted for alle tre vejninger.

Her er et foreløbigt arrangement, der tilfredsstiller særprægegenskaben. Bemærk, at intet muligt arrangement vises mere end én gang i begge tabeller:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 L R 4 L R R L 5 L R R L 6 L R R L 7 L L R R 8 L L R R 9 L L R R 10 L L R R R L 11 L R L R L R 12 R L L L R R L = place it on the left R = place it on the right = leave it off 

Straks løber vi ind i problemet, at vi ikke lægger det samme antal kugler på hver skala. Hvis du har syv kugler på den ene side og den ene på den anden, skal skalaen selvfølgelig tippe til siden med syv kugler (medmindre din ulige bold ud er latterligt tung, men lad os ikke underholde det scenarie). Så vi er nødt til at invertere et par af disse konfigurationer, så vi lægger fire på hver side til hver vejning. Med nogle forsøg og fejl kan vi få noget som dette:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 R L 4 L R R L 5 R L L R 6 L R R L 7 R R L L 8 L L R R 9 L L R R 10 R R L L L R 11 R L R L R L 12 L R R R L L 

Så vores sidste vejeplan for kugler er som følger:

Weighing 1: 1 4 8 12 / 5 7 10 11 Weighing 2: 2 6 9 11 / 4 7 10 12 Weighing 3: 5 8 9 10 / 3 6 11 12 

Og resultaterne fortolkes som sådan:

==L : 3L L== : 1H R== : 1L ==R : 3H L=L : 8H R=L : 5H =L= : 2H L=R : 5L R=R : 8L =LL : 9H LL= : 7L RL= : 4L =LR : 6H LLR : 10L RLL : 12L =R= : 2L LR= : 4H RLR : 11H =RL : 6L LRL : 11L RR= : 7H =RR : 9L LRR : 12H RRL : 10H = : scale balanced L : scale tipped to the left R : scale tipped to the right nL : ball n is light nH : ball n is heavy 

Og således har vi oprettet et vejeskema, hvor hver vejning på forhånd er helt forudbestemt, der stadig formår at bestemme, hvilken kugle der er den ulige, og om den er lettere eller tungere.

Du bemærker muligvis, at vi ikke brugte LLL, RRR eller === i vores arrangementer.

Vi kan ikke bruge LLL og RRR som et 13. par til en 13. kugle, for da skulle vi ende med at sætte ni kugler på skalaen, og der er ingen måde at gøre det på, da ni er underligt. Vi kunne sandsynligvis bruge det i sted for et af LLR/RRL par, men efterlader LLL og RRR ud giver en symmetri i resultatdiagrammet, som jeg snarere kan lide.

Det, der er interessant, er dog, at du kan have en 13. bold, som du aldrig placer dem på en hvilken som helst skala, og hvis dine skalaer balancerer i alle tre vejninger, er den 13. kugle, du aldrig vejede, den ulige kugle ud (selvom du selvfølgelig ikke kan fortælle uden en fjerde, der vejer, om den er lettere eller tungere).

Kommentarer

• Så grundlæggende kan man løse dette med 13 bolde, hvis man har 14. etalonkugle. Fantastisk svar.
• Det er sandsynligvis endda 14 bolde, hvor 14. ball kan være tungere, kan løses, men det er sværere, sandsynligvis kan du ‘ t.

Nogle af de eksisterende svar på dette gamle spørgsmål er fremragende, men der er et berømt svar, som Jeg synes, det fortjener at blive nævnt her. Det kommer fra en artikel i Eureka , det årlige magasin for University of Cambridge “matematikstuderende, skrevet af CAB Smith under pseudonymet” Blanche Descartes “.

Det har to meget flotte funktioner. Den første er, at det er en “uforgrenet” løsning: du behøver ikke at ændre, hvad du gør ved senere vejninger afhængigt af resultaterne af tidligere. Det andet er, at når du først har set det, er det næsten umuligt at glemme.

Smiths løsning er skrevet helt i vers og inkluderer en forklaring på, hvordan det hele fungerer, men jeg vil kun citere faktisk svar. “F” her er vores hovedperson professor Felix Fiddlesticks, hvis mor har bedt ham om hjælp med puslespillet. Jeg har foretaget nogle ubetydelige ændringer i den originale formatering.

F sætte mønterne ud i en række
Og kridtede på hvert et bogstav, så,
For at danne ordene: F AM NOT LICKED
(An ideen i hans hjerne havde klikket.)

Og nu skal hans mor “han pålægge:
” MA, DO / LIKE
ME TO / FIND
FAKE / COIN! “

Hver af de tre linjer i Fs påbud beskriver en vejning.Når du har gjort dem alle, bestemmer resultaterne entydigt, hvilken mønt der er falsk og på hvilken måde.

Kommentarer

• +1. Dette tror jeg er en forskønnet version af Joe Z ‘ s svar

Jeg brugte lidt tid på at arbejde på dette puslespil, efter at det dukkede op på “Brooklyn Nine-Nine” (hvis du vil, kan du se kaptajn Holt beskrive puslespillet her ) og jeg skrev en detaljeret, illustreret løsning her: Island of Tyreses Solution . I denne bestemt version Jeg forsøger at finde en øboer, Diffy, der enten er tungere eller lettere end de andre 11 øboere.

Lektioner

Den endelige løsning tager højde for to ting, jeg lærte af tidligere forsøg:

1. I en gruppe på fire kan jeg identificere Diffy i to vejninger.

   A. Først satte jeg to øboere fra gruppen mod to kendt ikke-Dif fys. Hvis vippen savner, ved jeg, at Diffy er en af disse to. Hvis vippesaven forbliver jævn, ved jeg, at Diffy er en af de to andre.

   B. Nu vælger jeg en af de resterende to mulige Diffys og sætter ham mod en kendt ikke-Diffy. Hvis vægten vipper, har jeg fundet Diffy. Hvis bestyrelsen forbliver jævn, ved jeg, at Diffy er den sidste tilbageværende øboer.

   C. Alternativt, hvis vippen savner i trin A, og du vil vide, om DIffy er tung eller let, kan du notere retningen fra trin A og sætte de to resterende mulige Diffys på skalaen overfor hinanden. Hvis saven vipper i samme retning som trin A, er Diffy den, der stadig er på den samme side, som han var under trin A. Ellers er Diffy på den anden side, hvis vippens orientering ændres.

2. I en gruppe på tre kan jeg identificere Diffy i en vejning, så længe jeg har retningsinformation. Jeg vil beskrive dette mere detaljeret under Brug # 3.

Løsning

På grund af lektion nr. 1 kan jeg opdele fire øboere, inden jeg kontrollerer resten. Hvis Diffy er i den gruppe på fire, vil den første vejning komme lige ud, og jeg kan nu identificere ham blandt disse fire med mine to resterende træk. Hvis Diffy ikke er i den gruppe på fire, har jeg nu fire øboere, som jeg kan udelukke og også bruger til at tare min vippe.

Så til min første brug af vippen, jeg vejer de otte tilbageværende øboere op mod hinanden med fire på hver side.

Brug # 1

Jeg har allerede skitseret min plan, hvis denne første se-saw-brug viser sig jævn, så hvad er det næste, hvis det viser sig underligt? Det er her, geniet kommer ind.

Jeg har nu nogle “retningsoplysninger.” Jeg vil fremover ringe til hvilken retning, som saven vippes i Brug 1 “Retning 1 ″ eller” D1 ″ for kort. Jeg ved, at hvis Diffy er tung, er han på den del af vippen, der gik ned, og hvis Diffy er let, er han den del af vippen, der gik op. Hvis jeg flytter Diffy, vil vippesaven ændre retning! Det har intet valg, fordi Diffy og kun Diffy får vippen til at vippe. Husk også lektion nr. 2, jeg har retningsinformation og et træk efter den aktuelle, så jeg kan helt tage tre mulige Diffys ud inden næste brug af vippesaven. Jeg bliver nødt til at bruge en af de øboere, som jeg udelukkede i brug 1, for at holde tre øboere på hver side.

Brug # 2

Hvis Use # 2 giver os en jævn vippe, kan vi finde Diffy i de tre, vi fjernede, men hvis den ikke gør det, skal vi være opmærksomme til den retning, som saven bevæger sig. Flyttede det på samme måde som før, retning 1, eller ændrede det retning til retning 2? Vores næste valg vil være baseret på svaret! Hvis den bevægede sig i retning 1, så ved vi, at Diffy ikke er en af øboerne, der skiftede side til brug nr. 2. Hvis saven flyttes i retning 2, er Diffy en af sidekontakterne. Uanset hvad har vi fået ham til at være en af tre eller to. Brug # 3 er lidt svært at generalisere, da den er forskellig for hver mulighed.

Brug # 3

I det tilfælde, hvor jeg har en gruppe på tre mulige – Diffy øboere, to af disse øboere var på samme side under brug nr. 1, da vippesaven flyttede ind i D1. Hvis jeg sætter en af disse øboere på hver side af vippesaven, og vippesaven igen bevæger sig ind i D1, så ved vi, at Diffy er øboeren på den oprindelige side. Hvis vippen bevæger sig ind i D2, så ved vi, at Diffy er på den modsatte side af vippen. Hvis vippesaven forbliver jævn, ved vi, at Diffy er det tredje medlem af gruppen. Løsning

Dette er en omskrivning af R. Allen Gilliam af Jared Andersons løsning fra en anden version af dette puslespil på dette websted. Måske er det bare, hvordan mit sind fungerer, men det virker meget lettere at forstå.

Nummer mændene (eller mønterne eller kuglerne) 1 til 12.
Vej 1 2 3 4 mod 5 6 7 8.
Hvis de “er de samme, så er den anden mand 9 10 11 eller 12. Gå til I nedenfor.
Hvis de er forskellige, skal du notere, om 1 2 3 4 er tungere eller lettere.

Vejer 1 2 3 5 mod 4 10 11 12. (Bemærk, at vi ved, at 10 11 og 12 ikke er den anden.) Der er tre muligheder:
(1) Hvis 1235 har det samme forskel (tungere eller lettere) som 1234, så skal den forskellige være 1 2 eller 3 og have den samme forskel (tungere eller lettere) som 1234. Spring til II nedenfor.
(2) Hvis 1235 balancerer 4 10 11 12 , så skal den forskellige være 6 7 eller 8 (dem, vi fjernede) og have den samme forskel (tungere eller lettere) som 5678. Spring til II nedenfor.
(3) Hvis 1235 nu har den modsatte forskel (tungere eller lettere) som 1234, så er enten 4 eller 5 den anden. Enten har 4 den samme forskel som 1234 (tungere eller lettere) eller 5 har samme forskel som 5678 (tungere eller lettere). Så vi vejer simpelthen 4 mod 1. Hvis de “er ens, så er 5 den anden. Hvis de” er forskellige, så er 4 den anden.

I. At finde ud af, hvilken af 9 10 11 12 der er forskellig med to vejninger, når du ikke ved, om den anden er tungere eller lettere:

Vejer 9 mod 10. To muligheder:
(1) Hvis de “er forskellige, så skal det være 9 eller 10. Vej 9 og 11. Hvis de” er ens, er 10 den anden. Hvis de “er forskellige, er det 9.
(2) Hvis de “er det samme, så skal det være 11 eller 12. Vejer 9 og 11. Hvis de” er de samme, er 12 den anden. Hvis de “er forskellige, er det 11.
(Hvis det” s 12, ved vi ikke, om han var tungere eller lettere, da vi aldrig vejede ham. Vi fandt ham ved hjælp af eliminering. Han må være den anden, da alle de andre vejer det samme.)

II. Find, hvilken af tre mænd der er forskellig med en, der vejer, når du ved, om den anden er tungere eller lettere:

Omdøb de tre mænd 1 2 3. Vej 1 mod 2. To muligheder:
(1) Hvis de “er ens, er 3 den anden.
(2) Hvis de” er forskellige, alt efter hvilken der har den rigtige forskel rence (tungere eller lettere) er den anden.

Dette ser ud til at være den enkleste løsning til 12 emner, hvis du kun skal finde emnet med forskellig vægt, som nogle versioner af puslespillet spørger. Joe Zs løsning kan finde varen og forskellen med 12 emner og den forskellige vare med 13 emner. At finde den forskellige emne og forskellen med 14 emner synes matematisk umulig med 3 vejninger, fordi der kun er 27 mulige resultater med 3 vejninger og der er 28 muligheder med 14 genstande. Men kunne en variation af Joe Zs løsning finde det forskellige emne ud af 13, og om det er tungere eller lettere? Hvis ja, så find det andet, men ikke forskellen med 14 ting ville være mulige. At finde den forskellige, men ikke forskellen ud af 15, ville være umulig, fordi du kun kan lade en vare være ude af vejningerne, mens du stadig er i stand til at identificere den anden, og hvis du vejer varen, vil du ” ved, om det er lettere eller tungere, hvilket vi ved er matematisk umuligt med 14 emner.

Denne løsning svarer til den, der leveres af R Gilliam, men adskiller sig i andet trin de bolde i 3 grupper på 4 bolde hver. Lad os kalde dem g1 g2 og g3 vælger to grupper og vejer dem mod hinanden. Et af to scenarier er sandt. Panderne er afbalancerede: De 8 kugler, du lige har vejet, har alle den rigtige vægt. Panderne er ubalancerede: 4 kugler, som du ikke vejer, har alle den korrekte vægt.

Uanset hvad i slutningen af den første vejning har du mindst 4 kugler med den rigtige vægt.

For den anden vejning den ene side af gryden skal have 3 kugler med den korrekte vægt. Hvis gryderne var ubalancerede efter den første vejning, skal du sætte 3 kugler fra en af de ubalancerede gryder i den anden gryde. 4 kugler, der sad ud med den første vejning i den anden gryde.

Hvis gryderne ikke er i balance efter denne vejning, ved du, om oddballen er tungere eller lettere, da en af gryderne indeholder kugler med den rigtige vægt. Hvis panderne er afbalancerede, er den fjerde kugle, der blev udeladt oddballen, og du kan finde ud af, om den er tungere eller li ved at veje den mod en kugle med korrekt vægt.

Hvis gryderne ikke er i balance, ved du, om oddballen er tungere eller lettere. Tag 2 af de 3 kugler fra gryden (der ikke indeholder de rigtige vægtkugler), og vej dem mod hinanden. Du ved allerede, om oddball er tungere eller lettere. Hvis gryderne ikke er i balance, skal du vælge den gryde, der svarer til oddballens vægtretning. hvis panderne er afbalancerede, er den 3. bold oddball.

Du kan også løse det ved hjælp af 4 grupper på 3 bolde . Vej 3 mod 3, og hvis det balancerer, kan du holde disse 6 bolde til side som kendt-lig. Hvis de ikke balancerer, ved du, at den ulige bold ude er i den gruppe på 6. Vej derefter 3 af de kendte lig med en af de 2 grupper på 3 ukendte. Hvis den balancerer, er den ulige i finalen gruppe på 3. Hvis den ikke balancerer, ved du, at den ulige er stadig på skalaen. Til sidst skal du bruge den sidste gruppe på 3 kugler, der er ukendt og ulige, sætte en i hver ende og holde den tredje til side. Hvis skalaen balancerer, ved du, at den ensomme bold, du holdt til side, er den ulige bold. Hvis skalaen ikke balancerer, ved du, at den ulige bold er på skalaen. For at bestemme den ulige bold, og om den er tungere eller lettere, skal du have bemærket, om den ukendte gruppe var tungere eller lettere end den kendte-lige grupper. Hvis de var tungere, er den enlige bold tungere.

Kommentarer

• ” At bestemme ulige bold, og uanset om den ‘ er tungere eller lettere, skal du have noteret, om den ukendte gruppe var tungere eller lettere end de kendte grupper. ” Hvis alle de tre grupper, du vejede i de første to vejninger, var ens, har du ikke ‘ disse oplysninger.

(1) Placer kugler 6 og 6 på skalaen. Fjern en fra hver side, indtil vægten balancerer.

(2) Tag de sidste to fjernede (eller resterende to, hvis skalaen aldrig er afbalanceret) og placer på den ene side (side A) og to lige store vægtede kugler på den anden (side B). Hvis side A er lavere er oddball tungere, hvis side B er lavere oddball er lettere. Fjern en fra hver side. Hvis skalaen balancerer, er bolden fjernet fra side A oddballen, hvis ikke bolden er tilbage på side A er.

Kommentarer

• Det kræver op til syv vejninger. Problemet beder dig om at gøre det i tre.
• @nosun – Velkommen til puzzling.se. Bare for at fortælle dig, bliver forkerte svar undertiden nedstemt for at hjælpe med at adskille dem fra gode svar. Dette er ikke beregnet til at afskrække dig fra at give gode svar på andre spørgsmål.