Tommelfingerregel for filterordre

Min favorit " Tommelfingerregel " i rækkefølgen af et lavpas FIR-filter er " Fred Harris tommelfingerregel ":

$$ N = \ frac {f_s} {\ Delta f} \ cdot \ frac {\ rm atten_ {dB}} {22} $$

hvor

• $ \ Delta f $ er overgangsbåndet i samme enheder af $ f_s $
• $ f_s $ er filterets prøvehastighed
• $ \ rm atten_ {dB} $ er målafvisning i dB

For eksempel hvis du har et overgangsbånd på 100 Hz i et system, der er samplet ved 1 kHz, og dit afvisningskrav er 50 dB i stopbåndet, så er rækkefølgen kan tilnærmes med:

$$ N = \ frac {1 \ \ rm kHz} {100 \ \ rm Hz} \ cdot \ frac {50} {22} = 23 \ \ rm taps \ tag {afrunding} $$

Tak Fred Harris!

Bemærk en anden mere detaljeret formel, der tager højde for passbånd ripple er Kaisers formel takket være James Kaiser fra Bell Labs, som jeg inkluderede i min grafik nedenfor.

For de fleste applikationer, jeg har gjort, har Fred Harris tilgang været helt fin, da den fik en vis afvisning , har de resulterende filtre, der bruger traditionelle filterdesignalgoritmer som Parks-McClellan og Remez, overskredet mine passbånds krusningskrav, når de opfylder afvisningskravet. (Hvad jeg normalt gør er at estimere rækkefølgen, designe filteret med den rækkefølge, inspicere resultatet og øge eller formindske rækkefølgen derfra for at finjustere). Resultaterne fra estimaterne er netop det: estimater og kan variere meget afhængigt af overordnede designparametre og ikke antages at være en nøjagtig løsning.

For dem, der er fortrolige med filterdesign ved hjælp af vinduetilgang, skal du gennemgå kassevognen eller det rektangulære vindue (hvilket er simpel afkortning) afslører, hvorfor det tager $ f_s / \ Delta f $ haner (hvilket er det samme som $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ hvis enhederne til normaliseret frekvens er radianer / prøve, som det ofte gøres) for at fuldføre overgangsbåndet. Se billederne nedenfor, der hjælper med at forklare dette.

Det øverste billede nedenfor viser den forventede sink i frekvens for et rektangulært vindue i tiden, i dette tilfælde som en ikke-kausal rektangulær puls centreret på $ t = 0 $ . Dette gentages derefter i diskrete former som en kausal bølgeform, der starter ved $ t = 0 $ , begge med Discrete Time Fourier Transform (DTFT) og Discrete Fourier Transform (DFT) hvor forskellen er eksemplerne i tiden strækker sig til $ \ pm \ infty $ for DTFT, hvilket resulterer i en kontinuerlig bølgeform i frekvensdomænet. I begge tilfælde er resultatet en alias Sinc-funktion, der er periodisk over intervallet $ f = [0, f_s) $ , med nøglepunktet for $ N $ prøver i tid for den rektangulære funktion, frekvensresponset får sin første nul ved $ f = 1 / N $ (Hvor $ f $ er den normaliserede frekvens, hvor 1 er samplingsfrekvensen).

Dette næste billede nedenfor viser den rektangulære vindues tilgang til filterdesign (som jeg aldrig vil anbefale, men er informativ). Det første plot i øverste venstre hjørne viser målfrekvensresponset for vores filter som et ideelt " murstensvæg " svar. Du må ikke forveksle det med " kassevinduet " (eller " rektangulært vindue ") som også er en rektangulær form – vinduet er i tidsdomænet!

For at realisere et sådant filter bruger vi impulsresponsen af det ønskede frekvensrespons som koefficienter i vores FIR-filter (koefficienterne for filteret er impulsresponsen — sæt en impuls i og ud kommer alle koefficienter!). Impulsresponset for et rektangulært frekvensrespons (brickwall) er det inverse FT, som er en Sinc-funktion i tidsdomænet, vist i nederste venstre hjørne som " Påkrævet impulsrespons ". En Sink-funktion strækker sig til plus og minus uendelig, så hvis vi faktisk skal realisere et sådant filter, har vi brug for et uendeligt langt filter, og det ville have uendelig lang forsinkelse. Det er klart, at vi ikke kan gøre det, så vi trunker koefficienterne til noget, der kan realiseres. Jo længere filteret er, desto tættere er vi på det ideelle murvægssvar, men jo længere forsinkelse vil være (og jo flere ressourcer, vi har brug for i form af filterkonstruktionen; flere vandhaner).

Afkortning af impulsresponset i tidsdomænet er matematisk identisk med multiplikation med et rektangulært vindue i tidsdomænet. (Bemærk at impulsresponset også er forsinket med halvdelen af varigheden vinduet for at systemet skal være årsagssammenhængende. Multiplikation i tidsdomænet svarer til foldning i frekvensdomænet. Frekvensdomænet (FT) for impulsresponset før trunkering er vores oprindelige ønskede murvægsfrekvensrespons. svar for det rektangulære vindue er en Sinc-funktion i frekvensdomænet.

Så når vi trunker det ønskede impulsrespons (ganget i tid med et rektangulært vindue), konvolverer vi det ønskede frekvensrespons e med en sink-funktion, hvilket resulterer i en tilnærmelse af vores målfrekvensrespons som vist i øverste højre hjørne af billedet nedenfor.

En nøgleudtagning for Sinc-funktioner generelt er den første null er $ 1 / T $ hvor $ T $ er varigheden af den rektangulære funktion. For et samplet system ville den første nul være ved $ 2 \ pi / N $ hvor $ N $ repræsenterer antallet af prøver for varigheden af den rektangulære funktion. På billederne bruges en normaliseret radianfrekvens til frekvensaksen- (hvis det forvirrer, ved du bare, at $ 2 \ pi $ er radianfrekvensen for samplingshastigheden). Så i løbet af konvolutionen spredes den skarpe murstensovergang og går i dette tilfælde til 0 (vores $ \ Delta \ omega $ ) over en frekvens på $ 2 \ pi / N $ ! Så her $$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$ og selvfølgelig er filteret dårligt med sidelobber osv. Bemærk dette: Denne overgang fra Sink-funktionen er den skarpeste tilgængelige for et givet antal tryk; den har den bedste opløsning i frekvens, men det fattigste dynamiske område (afvisning). Andre vindustypologier (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (min favorit) osv.) Forbedrer det dynamiske område betydeligt, men altid på bekostning af overgangen.

Så fra ovenstående ser vi oprindelsen til $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , der bruges i tilnærmelsesformlerne, og vi ser også, hvorfor der er en yderligere multiplikationsfaktor, der øger antallet af vandhaner over dette for typiske filterdesign; det rektangulære vindue ville give os den bedst mulige overgang med $ N $ haner, hvor $ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $ men har meget dårlig afvisning. Flere vandhaner bruges til at udjævne tidsovergangen længere end den skarpe overgang i det rektangulære vindue, hvilket giver større afvisning på bekostning af overgangsbåndbredde.

Kommentarer

• Bare for at undgå forvirring er den formel, du kalder " Kaiser ' s formel " er faktisk formlen for Parks McClellan optimale filtre (faktisk fundet af Kaiser), men ikke til Kaiser-vinduesmetoden. Sidstnævnte har ikke ' t to forskellige $ \ delta $ -værdier, men kun en.
• Faktisk god afklaring Matt, da der er en Kaiser-vinduesmetode. Denne formel refereres imidlertid til og er kendt som " Kaiser ' s Formel " i litteratur, bare så læsere ikke ' ikke tror, det var min egen brug af dette udtryk. engold.ui.ac.ir/~sabahi/Advanced%20digital%20communication/…
• Awesome!Ser ud som det kom fra side 48 i Fred Harris ' bog: " Multirate signalbehandling til kommunikationssystemer "?
• Tommelfingerreglen eller billederne? Billederne er mine for en klasse, jeg laver. Jeg har ' t fred ' s bog, men jeg er en stor fan og blev introduceret til hans " tommelfingerregel " af ham ved en DSP World-præsentation, han gjorde tilbage omkring 1996. (Bemærk, at han insisterer på, at hans navn staves med små bogstaver).
• @DanBoschen Er formlen for Parks McClellan også gyldig, når du designer båndpas FIR-filtre? Hvis ikke, er der en anden " tommelfingerregel ", der kunne anvendes?