Så i $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ har vi Frobenius indre produkt givet af $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
som kan fortolkes som det euklidiske indre produkt på $ {\ bf R} ^ {np } $. Min forståelse er, at alle indre produkter på $ {\ bf R} ^ {np} $ kan skrives som $$ a ^ TPb $$ for $ P $ positiv-bestemt. Det bedste, jeg kunne gøre i forsøget på at udvide Frobenius indre produkt på $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $, er noget af formen $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ for $ X_i \ i {\ bf R} ^ {m_i \ gange n} $ og $ Y_i \ i {\ bf R} ^ {p \ gange q_i} $ hele rang. Jeg vil dog gerne vide, om dette dækker alle indre produkter på $ {\ bf R} ^ {np} $, eller om det måske er mere komplekst end nødvendigt på grund af afskedigelser.
Jeg kan finde tilsvarende $ P $ matrix for ethvert specifikt matrix indre produkt ved at tage standardgrundlaget for $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ og danne matrixen
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ prikker & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
men jeg ved ikke, om den generelle form for et matrix-inderprodukt, jeg gav ovenfor, dækker alle positivt bestemte matricer $ P $.
Opdatering:
nyere version af dette spørgsmål den MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Kommentarer
- Velkommen til SciComp.SE! Dette er et interessant spørgsmål, men synes meget mere passende for math.stackexchange.com . (Medmindre der ' en forbindelse til et beregningsvidenskabeligt problem, mangler jeg ', i hvilket tilfælde det ' det ville være fantastisk, hvis du kunne tilføje det.)
- @ChristianClason, det ' er relateret til optimering på matrixmanifold med Riemannian-metrics, siden Riemannian metrics er indre produkter i det tangente rum. Det ' er næsten helt sikkert for avanceret til Math.SE, det eneste andet passende sted ville være MathOverflow. Jeg har faktisk måske fundet, hvad jeg synes er en løsning, som jeg kan sende som et svar, når jeg først gør det rodede arbejde med at bevise, at det er en løsning, men hvis du ' gerne vil migrere dette til MathOverflow I ' er ok med det. Jeg ' Jeg tilføjer optimeringskonteksten, når jeg får en chance.
- Matrixen $ P $ skal også være symmetrisk, ikke bare positiv.
- @WolfgangBangerth, positiv-bestemt forstås at antyde symmetrisk.
- Ikke for alle forfattere indebærer positiv-definitet symmetri.
Svar
Du kan se et indre produkt som en operation $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, dvs. det er en bilineær funktion, der (i) returnerer et ikke-negativt tal, (ii) tilfredsstiller forholdet $ f (a, b) = f (b, a) $.
For vektorer $ a, b \ i \ mathbb R ^ n $ kan alle bilineære funktioner, der tilfredsstiller disse egenskaber, skrives som $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ hvor $ P $ er symmetrisk og positiv bestemt. For matricer $ a, b \ i \ mathbb R ^ {n \ gange p} $ kan alle sådanne funktioner skrives som $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ hvor nu $ P $ er en tensor af rang 4, der er symmetrisk i den forstand, at $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ og positiv bestemt i den forstand, at $ f (a, a) > 0 $ for alle $ a \ neq 0 $.
Dit spørgsmål koger ned til om hver $ P $, der opfylder sådanne betingelser, kan skrives en form, der er resultatet af vektorerne $ X_i, Y_i $. Jeg tror, at svaret på dette er nej. Dette er simpelthen så fordi (for at forenkle antagelsen $ n = p $) symmetrisk $ P $ har (asymptotisk) $ n ^ 4/2 $ frihedsgrader, hvorimod $ n $ vektorerne $ X_i, Y_i $ kun har $ 2n ^ 2 $ frihedsgrader. Med andre ord tror jeg ikke, at for tilstrækkelig store $ n $ har din tilgang tilstrækkeligt mange frihedsgrader.
Kommentarer
- I mener faktisk, at svaret er ja, jeg ' kommer til at genindlægge dette spørgsmål ved matematikoverløb med mine opdaterede resultater.
- Ja dit argument om, at antallet af parametre vokser kortvarigt i vektorens indre produktrum, mens det kun kvadratisk er i matrixen, er det indre produktrum overbevisende, men da rummet i sidste ende er endeligt, skal vi være i stand til at overvinde dette ved at øge $ N $ passende.
- Jeg beklager, at jeg har sendt en nyere version af dette spørgsmål til MathOverflow, men det ' er tilstrækkeligt opdateret. Jeg troede det var passende, her er linket, hvis du vil for at overføre dit svar derovre eller opdatere dit svar baseret på den nyere version. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Bemærk, at @ ChristianClason rådede dig til at stille dit spørgsmål på math.stackexchange.com, ikke på mathoverflow.net. Det er to forskellige steder med forskellige formål og målgrupper.
- @FedericoPoloni ja jeg ved det, og hvis du læser det, jeg skrev, fortalte jeg ham, at jeg syntes, det var for avanceret til Math.SE og sandsynligvis ikke ville få et svar der.