¿Cuáles son las diferencias conceptuales entre el método de elementos finitos y el método de volumen finito?

Elemento finito: integrales volumétricas, orden polinomial interno

Los métodos clásicos de elementos finitos suponen e espacios de aproximación continuos o débilmente continuos y piden que se satisfagan integrales volumétricas de la forma débil. El orden de precisión aumenta elevando el orden de aproximación dentro de los elementos. Los métodos no son exactamente conservadores, por lo que a menudo luchan con la estabilidad de los procesos discontinuos.

Volumen finito: integrales de superficie, flujos de datos discontinuos, orden de reconstrucción

Los métodos de volumen finito utilizan una aproximación constante por partes espacios y pida que se satisfagan integrales contra funciones de prueba constantes por partes. Esto produce declaraciones de conservación exactas. La integral de volumen se convierte en una integral de superficie y toda la física se especifica en términos de flujos en esas integrales de superficie. Para problemas hiperbólicos de primer orden, esta es una solución de Riemann. Los flujos de segundo orden / elípticos son más sutiles. El orden de precisión aumenta mediante el uso de vecinos para reconstruir (de forma conservadora) representaciones de orden superior del estado dentro de los elementos (reconstrucción / limitación de pendientes) o reconstruyendo flujos (limitación de flujo). El proceso de reconstrucción suele ser no lineal para controlar las oscilaciones alrededor de las características discontinuas de la solución, ver métodos de disminución de variación total (TVD) y esencialmente no oscilatorios (ENO / WENO). Es necesaria una discretización no lineal para obtener simultáneamente una precisión superior a la de primer orden en regiones suaves y una variación total limitada entre discontinuidades, consulte el teorema de Godunov .

Comentarios

Tanto FE como FV son fáciles de definir hasta una precisión de segundo orden en cuadrículas no estructuradas. FE es más fácil de ir más allá de segundo orden en cuadrículas no estructuradas. FV maneja mallas no conformes con mayor facilidad y robustez .

Combinando FE y FV

Los métodos pueden combinarse de múltiples formas. Los métodos de Galerkin discontinuos son métodos de elementos finitos que utilizan funciones de base discontinua, adquiriendo así solucionadores de Riemann y más robustez para los métodos discontinuos. procesos (especialmente hiperbólicos) .Los métodos de GD se pueden usar con limitadores no lineales (generalmente con cierta reducción en la precisión), pero satisfacen una desigualdad de entropía celular sin limitación y, por lo tanto, se pueden usar sin limitación para algunos problemas donde otros esquemas requieren limitadores. ( Esto es especi aliado útil para la optimización basada en adjuntos, ya que hace que el adjunto discreto sea más representativo de las ecuaciones adjuntas continuas.) Los métodos de EF mixtos para problemas elípticos utilizan funciones de base discontinua y, después de algunas opciones de cuadratura, se pueden reinterpretar como métodos estándar de volumen finito, ver div id = «305c5bda42»>

Las diferencias conceptuales de FEM y FVM son tan sutiles como las diferencias entre un árbol y un pino.

Si comparas un determinado esquema FEM a la discretización de FVM aplicada a un problema en particular, entonces puede hablar de diferencias fundamentales que se hacen evidentes en diferentes enfoques de implementación y diferentes propiedades de aproximación (como @Jed Brown ha establecido en su respuesta).

Pero en general, diría que FVM es un caso especial de FEM, que usa una cuadrícula de celdas y funciones de prueba constantes por partes. Esta relación también se utiliza para el análisis de convergencia de FVM, ya que se puede encontrar en el libro de Grossmann, Roos & Stynes: Tratamiento numérico de ecuaciones diferenciales parciales .

La diferencia básica es simplemente el significado para adjuntar a los resultados. FDM predice valores de puntos de cualquier aspecto de la solución. La interpolación entre estos valores a menudo se deja a la imaginación del usuario. FVM predice promedios de variables conservadas dentro de volúmenes de control específicos. Por lo tanto, predice las variables conservadas integradas y puede demostrarse que converge a soluciones débiles (discontinuas). FEM proporciona un conjunto de valores discretos a partir de los cuales se puede deducir una solución aproximada sin ambigüedades en todas partes invocando un conjunto de funciones base. Por lo general, pero no necesariamente, las variables involucradas son conservadoras. Es posible tener métodos de diferencias finitas que sean conservadores en algún sentido, de acuerdo con una regla de cuadratura particular.

Estos son asuntos de definición. Hay muchas variaciones de los tres métodos. No todos los métodos son claramente de un tipo y los detalles varían entre las áreas de aplicación. Los investigadores que inventan un nuevo método emplean esas herramientas que les ayudarán a proporcionar las propiedades que están buscando. Como parece que ha descubierto, es difícil encontrar una discusión autorizada y sería difícil para mí proporcionar una. El mejor consejo que puedo darte es que sigas leyendo, sin esperar una respuesta totalmente clara, pero dando crédito a las cosas que tienen sentido para ti.