유한 차이와 유한 체적 방법 (방정식의 점 정의에서 셀에 대한 적분 평균으로 이동) 사이에는 명백한 차이가 있습니다. 그러나 나는 FEM과 FVM이 매우 유사하다는 것을 알았습니다. 둘 다 적분 형식과 셀에 대한 평균을 사용합니다.

FVM이 아닌 FEM 방법은 무엇입니까? 나는 FEM에 대한 약간의 배경을 읽었습니다. 방정식이 약한 형태로 쓰여졌다는 것을 이해합니다. 이것은 방법에 FVM과 약간 다른 언급 지점을 제공합니다. 그러나 나는 개념적 차원에서 차이점이 무엇인지 이해하지 못합니다. FEM은 미지가 셀 내부에서 어떻게 달라지는 지에 대해 몇 가지 가정을하나요? FVM에서도이 작업을 수행 할 수 없나요?

저는 대부분 그렇습니다. 1D 관점에서 오는 것이므로 FEM이 하나 이상의 차원에서 이점을 가질 수 있습니까?

이 주제에 대한 정보를 인터넷에서 많이 찾지 못했습니다. Wikipedia에는 FEM이 유한 한 차이와 어떻게 다른지에 대한 섹션이 있습니다. 방법입니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method 입니다.

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답변

유한 요소 : 체적 적분, 내부 다항식 순서

고전적인 유한 요소 메서드 가정 e 연속 또는 약 연속 근사 공간 및 만족할 약한 형태의 체적 적분을 요청합니다. 요소 내에서 근사 순서를 높이면 정확도의 순서가 증가합니다. 이 방법은 정확히 보수적이지 않기 때문에 종종 불연속 프로세스의 안정성에 어려움을 겪습니다.

유한 부피 : 표면 적분, 불연속 데이터의 플럭스, 재구성 순서

유한 부피 방법은 부분 상수 근사를 사용합니다. 부분적 상수 테스트 함수에 대한 적분을 만족해야합니다. 이것은 정확한 보존 진술을 산출합니다. 체적 적분은 표면 적분으로 변환되고 전체 물리학은 해당 표면 적분의 플럭스 측면에서 지정됩니다. 1 차 쌍곡선 문제의 경우 이것은 리만 풀이입니다. 2 차 / 타원 플럭스는 더 미묘합니다. 정확도 순서는 이웃을 사용하여 (보수적으로) 요소 내부 상태의 고차 표현을 재구성하거나 (경사 재구성 / 제한) 플럭스를 재구성 (플럭스 제한)함으로써 증가합니다. 재구성 프로세스는 일반적으로 솔루션의 불연속적인 특징 주위의 진동을 제어하기 위해 비선형입니다. 총 변동 감소 (TVD) 및 본질적으로 비 진동 (ENO / WENO) 방법을 참조하십시오. 비선형 이산화는 평활 영역에서 1 차 정확도보다 높은 정확도와 불연속성에 걸쳐 제한된 총 변동을 동시에 얻는 데 필요합니다. Godunov의 정리 를 참조하세요.

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FE와 FV 모두 비정형 그리드에서 최대 2 차 정확도까지 쉽게 정의 할 수 있습니다. FE는 비정형 그리드에서 2 차 이상으로 더 쉽게 이동할 수 있습니다. FV는 부적합 메시를보다 쉽고 강력하게 처리합니다. .

FE와 FV 결합

이 방법은 여러 가지 방법으로 결합 될 수 있습니다. 불연속 Galerkin 방법은 불연속 기저 함수를 사용하는 유한 요소 방법이므로 Riemann 솔버를 획득하고 불연속에 대한 더 견고 함을 얻습니다. 프로세스 (특히 쌍곡선). DG 방법은 비선형 제한 기와 함께 사용할 수 있지만 (일반적으로 정확도가 약간 감소 함) 제한없이 셀 단위 엔트로피 부등식을 충족하므로 다른 체계에 제한 기가 필요한 일부 문제에 제한없이 사용할 수 있습니다. 이것은 especi입니다 타원 문제에 대한 혼합 FE 방법은 불연속 기저 함수를 사용하고 일부 구적법을 선택한 후 표준 유한 체적 방법으로 재 해석 할 수 있습니다. 자세한 내용은 div id = “305c5bda42″>

이 답변 을 참조하세요. Reconstruction DG 방법 (일명 $ P_N P_M $ 또는 “Recovery DG”)은 FV와 같은 보수적 재구성과 내부 주문 강화를 모두 사용하므로 FV 및 DG 방법의 상위 집합입니다.

답변

FEM과 FVM의 개념적 차이는 나무와 소나무의 차이만큼 미묘합니다.

특정 FEM 체계를 비교하면 특정 문제에 적용된 FVM 이산화에 대해 다른 구현 접근 방식과 다른 근사 속성에서 분명 해지는 근본적인 차이점에 대해 말할 수 있습니다 (@Jed Brown이 답변에서 설명했듯이).

하지만 일반적으로 FVM은 셀 그리드와 부분 상수 테스트 함수를 사용하는 FEM의 특별한 경우라고 말하고 싶습니다. 이 관계는 Grossmann, Roos의 책 & Stynes에서 찾을 수 있으므로 FVM의 수렴 분석에도 사용됩니다. 편미분 방정식의 수치 적 처리 .

답변

기본적인 차이점은 단순히 의미입니다. 결과에 첨부됩니다. FDM은 솔루션의 모든 측면에 대한 포인트 값을 예측합니다. 이러한 값 사이의 보간은 종종 사용자의 상상력에 맡겨집니다. FVM은 특정 제어 볼륨 내에서 보존 된 변수의 평균을 예측합니다. 따라서 통합 보존 변수를 예측하고 약한 (불연속) 솔루션으로 수렴하는 것으로 표시 될 수 있습니다. FEM은 일련의 기저 함수를 호출하여 모든 곳에서 근사 솔루션을 명확하게 추론 할 수있는 이산 값 세트를 제공합니다. 일반적으로 반드시 그런 것은 아니지만 관련된 변수는 보수적입니다. 특정 구적 법칙에 따르면 어떤 의미에서 보수적 인 유한 차분 방법을 가질 수 있습니다.

이것은 정의의 문제입니다. 세 가지 방법 모두 다양한 변형이 있습니다. 모든 방법이 한 가지 유형에 해당하는 것은 아니며 세부 사항은 응용 분야에 따라 다릅니다. 새로운 방법을 발명하는 연구원들은 찾고있는 속성을 제공하는 데 도움이되는 도구를 사용합니다. 당신이 발견 한 것처럼 권위있는 토론을 찾기가 어려우며 제가 하나를 제공하기도 어려울 것입니다. 제가 드릴 수있는 최선의 조언은 완전히 명확한 답변을 기대하지 않고 계속해서 읽는 것입니다. 그러나 이해가되는 것에 대한 신뢰를주는 것입니다.

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