Quali sono le differenze concettuali tra il metodo degli elementi finiti e il metodo dei volumi finiti?

Elemento finito: integrali volumetrici, ordine polinomiale interno

I metodi degli elementi finiti classici assumono Gli spazi di approssimazione continui o debolmente continui e chiedono che siano soddisfatti gli integrali volumetrici della forma debole. Lordine di precisione viene aumentato aumentando lordine di approssimazione allinterno degli elementi. I metodi non sono esattamente conservativi, quindi spesso lottano con la stabilità per i processi discontinui.

Volume finito: integrali di superficie, flussi da dati discontinui, ordine di ricostruzione

I metodi dei volumi finiti usano lapprossimazione costante a tratti spazi e chiedere che siano soddisfatti gli integrali rispetto alle funzioni di test costanti a tratti. Questo produce dichiarazioni di conservazione esatte. Lintegrale di volume viene convertito in un integrale di superficie e lintera fisica è specificata in termini di flussi in quegli integrali di superficie. Per problemi iperbolici di primo ordine, questa è una soluzione di Riemann. I flussi di secondo ordine / ellittici sono più sottili. Lordine di accuratezza viene aumentato utilizzando i vicini per ricostruire (in modo conservativo) rappresentazioni di ordine superiore dello stato allinterno degli elementi (ricostruzione / limitazione del pendio) o ricostruendo i flussi (limitazione del flusso). Il processo di ricostruzione è solitamente non lineare per controllare le oscillazioni intorno alle caratteristiche discontinue della soluzione, vedere i metodi di diminuzione della variazione totale (TVD) ed essenzialmente non oscillatori (ENO / WENO). Una discretizzazione non lineare è necessaria per ottenere simultaneamente unaccuratezza superiore al primo ordine in regioni uniformi e una variazione totale limitata tra le discontinuità, vedere Teorema di Godunov .

Commenti

Sia FE che FV sono facili da definire con precisione fino al secondo ordine su griglie non strutturate. FE è più facile andare oltre il secondo ordine su griglie non strutturate. FV gestisce mesh non conformi in modo più semplice e robusto .

Combinazione di FE e FV

I metodi possono essere combinati in più modi. I metodi di Galerkin discontinui sono metodi agli elementi finiti che utilizzano funzioni di base discontinue, acquisendo così solutori di Riemann e maggiore robustezza per processi (soprattutto iperbolici). I metodi DG possono essere utilizzati con limitatori non lineari (di solito con una certa riduzione dellaccuratezza), ma soddisfano una disuguaglianza di entropia cella senza limitazione e possono quindi essere utilizzati senza limitazione per alcuni problemi in cui altri schemi richiedono limitatori. ( Questo è especi alleato utile per lottimizzazione basata su aggiunti poiché rende laggiunto discreto più rappresentativo delle equazioni continue aggiunte.) Metodi FE misti per problemi ellittici utilizzano funzioni di base discontinue e dopo alcune scelte di quadratura, possono essere reinterpretati come metodi standard a volume finito, vedere questa risposta per ulteriori informazioni. I metodi di ricostruzione DG (aka. $ P_N P_M $ o “Recovery DG”) utilizzano sia la ricostruzione conservativa simile a FV che larricchimento dellordine interno, e sono quindi un superset di metodi FV e DG.

Le differenze concettuali di FEM e FVM sono sottili quanto le differenze tra un albero e un pino.

Se confronti un certo schema FEM alla discretizzazione FVM applicata ad un particolare problema si può quindi parlare di differenze fondamentali che diventano evidenti in differenti approcci di implementazione e differenti proprietà di approssimazione (come ha esposto @Jed Brown nella sua risposta).

Ma in generale direi che FVM è un caso speciale di FEM, che utilizza una griglia di celle e funzioni di test costanti a tratti. Questa relazione viene utilizzata anche per lanalisi della convergenza di FVM come si può trovare nel libro di Grossmann, Roos & Stynes: Trattamento numerico delle equazioni differenziali parziali .

La differenza fondamentale è semplicemente il significato da allegare ai risultati. FDM prevede i valori in punti di qualsiasi aspetto della soluzione. Linterpolazione tra questi valori è spesso lasciata allimmaginazione dellutente. FVM prevede le medie delle variabili conservate allinterno di volumi di controllo specifici. Quindi predice le variabili conservate integrate e si può dimostrare che converge a soluzioni deboli (discontinue). FEM fornisce un insieme di valori discreti da cui una soluzione approssimativa può essere dedotta in modo univoco ovunque invocando un insieme di funzioni di base. Di solito, ma non necessariamente, le variabili coinvolte sono conservatrici. È possibile avere metodi alle differenze finite che sono conservativi in un certo senso, secondo una particolare regola di quadratura.

Queste sono questioni di definizione. Esistono molte varianti di tutti e tre i metodi. Non tutti i metodi sono esattamente di un tipo ei dettagli variano tra le aree di applicazione. I ricercatori che inventano un nuovo metodo utilizzano quegli strumenti che aiuteranno a fornire le proprietà che stanno cercando. Come sembra tu abbia trovato, è difficile trovare una discussione autorevole e sarebbe difficile per me fornirne una. Il miglior consiglio che posso darti è di continuare a leggere, senza aspettarti una risposta del tutto chiara, ma dando credito alle cose che hanno senso per te.