Määritä $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Ymmärrän, kuinka laatikko luodaan [-1,1] amplitudista 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
näkemäni ratkaisu sanoo, että $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
En ymmärrä mistä $ \ sin $ tuli mistä ja että 2: n arvot korreloivat. Olen nähnyt todisteita, mutta voisiko joku antaa yksinkertaisen selityksen muuttujista. Kiitos
Vastaus
Kolmion muotoinen toiminto voidaan luoda yhdistämällä kaksi laatikkofunktiota alla olevan kuvan mukaisesti.
Tästä vaiheesi 2 tulee.
Konvoluution Fourier-muunnos $ g (t) \ ast g (t) $ voidaan laskea kertomalla $ g (t) $: n Fourier-muunnos itsensä kanssa, ts. $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Muistathan, että laatikkofunktio on Sinc-funktio ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Siksi $ G (w) $ on jokin skaalattu versio sinc-funktiosta, ja kolmion funktion Fourier-muunnos on $ G (w) ^ 2 $.
Vastaa
OK, joten ymmärrät, että signaalin $ x (t) $ antaa kahden suorakaiteen muotoisen funktion konvoluutio $ -1 $: sta $ 1 $: iin, korkeus $ 1/2 $. Ainoa asia, joka on jäljellä, on määrittää tämän suorakulmaisen funktion Fourier-muunnos. Voit tehdä tämän erittäin helposti soveltamalla Fourier-muunnoksen määritelmää:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Olen varma, että pystyt ratkaisemaan tämän integraalin itse. sinifunktio tulee esiin, koska
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Lopuksi $ x (t) $: n Fourier-muunnos saadaan:
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Vastaus
Fourier-muunnoksen perustoiminnot ovat sini ja kosini. Sinun ei pitäisi todella olla yllättyneitä siitä, että Sin-funktio ilmestyi monimutkaisen signaalin analyysissä.