Sommerfeld-mallin mukaan Fermi-tason elektroneilla on yhteys
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
eli $ \ hbar k_F = m_ev_F $ ja $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Mutta kuten käy ilmi, laskettu Fermi-energia on korkeampi kuin kokeellinen arvo monille metallit. Energiakaistateoria selitti tämän korvaamalla $ m_e $ arvolla $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Jos nyt haluan laskea elektronien nopeuden Fermi-tasolla, onko minun korvattava $ m_e $: lla $ m ^ * $? Näyttää siltä, mutta jotkut (ei niin luotettavat) lähteet ehdottivat toisin. Onko olemassa jotain taustalla olevaa suhdetta, joka peruutti ja sai Fermin tason elektronit toimimaan kuin alasti elektroni?
Kiitos!
Vastaus
Huomaa, että Sommerfeldin malli yksinkertaistaa yleisesti Druden metalliteorian ottamalla huomioon se tosiasia, että elektronit ovat fermioneja, niin Paulin poissulkemisesta tulee erittäin tärkeä tekijä. Sommerfeldin mallissa ei ole tehokasta massaa , josta puhua, koska periaatteessa jätetään huomiotta järjestelmän atomit (ytimet) ja pidetään vapaasti liikkuvia > fermionit . Joten siellä Fermi-nopeutesi antaa vain: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Kehittyneemmissä malleissa, kuten tiukka sidontaketju, alkaa ottaa otetaan huomioon elektronin jaksollinen ympäristö, nimittäin jaksollinen Coulomb-potentiaali $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (otettu nyt dollariin $ \ mathcal {H} järjestelmän $)) ja tietyillä opetetuilla likiarvoilla Schrödingerin yhtälön ratkaisemiseksi käytetään LCAO -menetelmää (atomirataalien lineaarinen yhdistelmä). Kuten tunnet jo tietävän, tämä tulos on kuuluisa elektronien kaistarakenne kiinteissä aineissa, joissa valenssi- ja johtokanavien välinen energinen rako ilmestyy (puolijohteet, eristeet). Aina kun nauhan alaosaa (min. Kond. Kaista tai valenssikaistan enimmäismäärä) voidaan arvioida parabolilla, dispersio voidaan kirjoittaa vakiona ja plusnopeudella: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ tällä likiarvolla elektronin tiukassa sitoutumisketjussa voidaan kuvata vapaasti liikkuvaksi, jos siihen liittyvää tehollista massaa $ m ^ * $ käytetään. Huomaa, että termi $ cte $ on itse asiassa $ E_c $ tai $ E_v $ (vain kaistaenergiat kuvaavat aukkoa).
Yhteenvetona, jos puhut vapaasta elektronista kaistan rakennemallissa, niin efektiivinen massa on käytettävä. Lisää intuitiota varten, jos olet nähnyt joitain johdannaisia, olet ehkä huomannut hyppymatriisielementin $ t $, joka ponnahtaa esiin energiaominaisarvojen ratkaisemisessa, se on itse asiassa hyppy vahvuus (todennäköisyys, että elektroni hyppää ketjussa olevien atomien välillä, tiukasti sitoutuvassa mallissa), joka määrittää, kuinka erilainen elektronin efektiivinen massa $ m ^ * $ on sen lepomassasta $ m_e. $ Useimmissa tapauksissa ne ” uudelleen yksinkertaisesti käänteisesti verrannollinen $ m ^ * \ propto 1 / t, $ suurempi $ t $, sitä kevyempi elektronit tuntevat.