Déterminez $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Je comprends comment créer une boîte à partir de [-1,1] damplitude 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
la solution que je vois dit que $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Je ne comprends pas doù vient $ \ sin $ de et que les valeurs des 2 sont corrélées. Jai vu des preuves, mais quelquun peut-il fournir une explication simple de ce que sont les variables. Merci
Réponse
Une fonction triangulaire peut être générée en convoluant deux fonctions de boîte comme indiqué ci-dessous.
Cest de là que vient votre étape 2.
La transformée de Fourier dune convolution $ g (t) \ ast g (t) $ peut être calculé en multipliant la transformée de Fourier de $ g (t) $ avec elle-même, cest-à-dire $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Rappelons que la transformée de Fourier dun La fonction box est une fonction Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Par conséquent, $ G (w) $ est une version mise à léchelle dune fonction sinc, et la transformée de Fourier de la fonction triangulaire est $ G (w) ^ 2 $.
Réponse
OK, donc vous comprenez que le signal $ x (t) $ est donné par la convolution de deux fonctions rectangulaires sétendant de $ -1 $ à $ 1 $ avec une hauteur de $ 1/2 $. La seule chose qui reste à faire est de déterminer la transformée de Fourier de cette fonction rectangulaire. Vous pouvez le faire très facilement en appliquant la définition de la transformée de Fourier:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Je suis sûr que vous pouvez résoudre cette intégrale vous-même. la fonction sinus entre en jeu car
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Enfin, la transformée de Fourier de $ x (t) $ est donnée par
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Réponse
Les fonctions de base de la Transformée de Fourier sont Sinus et Cosinus. Vous ne devriez pas vraiment être surpris que la fonction Sin apparaisse dans votre analyse dun signal complexe.