A béka talánya – Feltételes valószínűségek

Nézzük meg a békapárt. A hím békákat a videón krokogással azonosítják.

Amint a videóban kifejtettük, mielőtt bármi krákogást hallanánk, 4 egyforma valószínűségű kimenetel adható 2 békának:

• 1. béka férfi, 2. béka férfi
• 1. béka nő, 2. béka férfi
• 1 béka férfi, 2. béka Nő
• Az 1. béka nő, a 2. béka nő

Ha feltételezzük, hogy a hímek és nők egyenlően és egymástól függetlenül fordulnak elő, mintaterületünk $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, és valószínűségünk van $ 1/4 $ minden elemre.

Most, ha meghalljuk a károgást ebből a párból származik, tudjuk, hogy legalább egy béka hím. Ezért a $ (F, F) $ esemény lehetetlen. Ezután új, csökkentett mintaterületet kapunk, amelyet ez a feltétel indukál: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Minden fennmaradó lehetőség továbbra is egyformán valószínű, és a valószínűség Az összes összeadott eseménynek $ 1 $ -nak kell lennie. Tehát ennek a három eseménynek a valószínűsége az új mintaterületen $ 1/3 $ kell, hogy legyen.

Az egyetlen esemény, amely rosszul végződik számunkra, az $ (M, M) $, tehát van egy $ 2 / 3 $ esély a túlélésre.

---

Formálisabban a feltételes valószínűség meghatározása a következőket mondja:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ sapka B)} {P (B)} $$ Tehát ha $ A $ az az esemény, hogy legalább egy nő jelen van, és $ B $ az az esemény, hogy legalább egy hím jelen van, akkor: \ begin {align} P (\ text {F legalább 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F és legalább 1 férfi})} {P (\ text {at legalább 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M és 1 F})} {P (\ text {1 M vagy 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Ez valóban ugyanaz az eljárás, amelyet a fentiekben ismertettünk.

Megjegyzések

• Szia mb7744, köszönöm a gyors választ. Értem a választ lefektetett módon, azonban ez számomra kettős számlálásnak tűnik, ezért ‘ küzdök a válasz elfogadásával. (M, F) = (F, M), és ha nem, miért?
• (M, F) és (F, M) nem ugyanaz az esemény. Ha az egyik béka neve Alex, a másik béka neve Taylor, Alex lehet a nőstény, Taylor pedig a férfi VAGY fordítva. Alex és Taylor valószínűleg nem értenek egyet abban, hogy ez a különbségtétel értelmetlen. Most láthatná a két eseményt egyenértékűnek.Ekkor azonban a három eredményed (M, M), (F, F) és (M, F) nem egyformán valószínű. A vegyes párosítás kétszer nagyobb a valószínűsége. Ugyanez az oka annak, hogy sokkal nagyobb az esélye annak, hogy dob egy 7-est egy kockapáron, mint egy 2-est, még akkor is, ha a 7-es dobás különböző módjait egyenértékűnek tekinti.
• Szia, azt hiszem ez segít tisztázni, hol i ‘ m nem ‘ szerez ‘ a rejtvényt. Ha megismételhetem a problémát, amikor ‘ látom, cserélje le a békát egy érmehajítással (vagy egy dobókockával). Ha két érmét kell megfordítania, és kizárnia bizonyos kombinációkat, akkor teljesen elfogadom a választ. A rejtvény ‘ hasonlatában azonban ezt olvastam, mivel csak egy érmefeldobást kapunk. A másik már elkészült, és nem változtathatja meg a másik eredményét. Ha nem tudjuk, hogy a két kimenetel közül melyiket határoztuk meg, nem engedjük, hogy ‘ megfordítsunk két érmét, és megválasszuk, melyik eredményt vesszük fel vagy zárjuk ki. Tehát a kockadobás analógiájával …..
• … két dobókockát dobhat, de számodra ismeretlen egy dobókocka ‘ kimenet már megvan határozott. Csak 1/6 esélye van arra, hogy bármelyik számot 7-12-re állítsa. Tévedek itt?
• Ha a kockadobás során az azonos valószínűségű eredmények összes párját megnézzük, akkor a sorrend számít . Képzelje el, hogy az egyik szerszám kék, a másik piros, és mi először a kék szerszámmal, míg a piros szerszámmal írjuk le eredményünket. Ekkor az (1,2) eredmény nem megegyezik a (2,1) eredménnyel. És, mint korábban, a ” 1 és a 2 gördülés valószínűsége, függetlenül a ” sorrendtől, kétszer akkora lesz, mint mondjuk , gurul egy 2-es pár. Utolsó kérdésedhez feltételezem, hogy azt mondtad, hogy egy die ‘ eredményt 6 nak határoztak. Ebben az esetben igazad van.

Mivel a matematika már ki van építve, megpróbálom adjon némi intuíciót. A kérdés az, hogy annak tudása, hogy legalább egy béka hímnemű, különbözik attól, hogy bármely adott béka hím. Az előbbi eset kevesebb információt hordoz, és ez hatékonyan növeli esélyeinket az utóbbi helyzetre .

Hívja a békákat balra és jobbra, és tegyük fel, hogy közöltük velünk, hogy a jobb béka hím. Ezután kiküszöböltünk két lehetséges eseményt a mintaterületből: azt az eseményt, ahol mindkettő a békák nőneműek, és az az esemény, ahol a bal béka hím, a jobb béka pedig nőstény. Most a valószínűsége valóban egy fele, és nem mindegy, hogy melyiket választjuk. Ugyanez az érv igaz, ha megtudjuk, hogy a bal béka hím.

De ha csak azt mondják nekünk, hogy legalább egy béka hím, ami akkor történik, amikor meghalljuk a károgást, akkor nem tudunk kiküszöböli azt az eseményt, hogy a bal béka hím, a jobb béka pedig nőstény. Csak azt az eseményt tudjuk kiküszöbölni, hogy mindkettő nő, ami valószínűbbé teszi azt az eseményt, hogy legalább az egyik nő nő, mint az előző beállítás.

Szerintem ennek oka zavaró, hogy természetesen azt gondoljuk, hogy megtanuljuk, hogy legalább az egyik férfi kétségbe vonja a békapár kiválasztását. Igaz, hogy ez az információ kevésbé valószínűsíti, hogy legalább egy nő nő, de vegye figyelembe azt is, hogy legalább egy nő teljes háromnegyed esélye volt, mielőtt bármit is megtanultunk volna. Ez az általunk kapott információk kétértelműsége teszi ezt, ezért továbbra is előnyben kell részesítenünk a két békát az egyivel szemben.

Megjegyzések

• Köszönöm dsaxton, intuitív módon a két béka mellett döntöttem, de az érvelésem szerint mindkét választás ugyanolyan valószínű volt.
• Köszönöm dsaxton, gyanítom, hogy ‘ s a rám vetett rejtvény megfogalmazása. Amint találkoztunk, a két béka nem különböztethető meg (további információk nélkül), ezért nem látom értelmesnek az (M, F), (F, M) megkülönböztetést. kontextusban. Nem vagyok meggyőződve arról, hogy az érvelésem hibás, de elnézését kérem, ha csak kissé lassú vagyok.
• Még egyszer köszönöm dsaxton. Amint fentebb említettem, én ‘ ve megtaláltam azt a mentális leteszést, amit folytattam, és most látom, miért a helyes válasz a válaszra (és arra a kérdésre, amire valójában megpróbáltam válaszolni). Ezúton is köszönöm a segítségét, mert a válasz látása nem ugyanaz, mint a segítség, hogy valóban megértsem.

Ebben az esetben megérzéseid helyesek. A probléma megállapításakor a túlélési esélye 50%. A videó a rendelkezésünkre álló információk alapján helytelenül közli a problématerületet, ezért téves következtetésre jut. A helyes problématerület 8 feltételt tartalmaz, és a következő.

Két béka van egy rönkön, és az egyikük krákog, milyen lehetőségeink vannak?(M férfit, F nőt és c görcsöset jelöl, első pozíció bal, második pozíció jobb)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Mindegyik eset egyformán valószínű a információk, amelyek birtokunkban vannak, amikor kiküszöböljük a feltételeket, mivel tudomásunkra jutott, hogy egy hím béka krákog. Megállapítottuk, hogy 4 eredményre lehet számítani. A bal hím béka kiabált egy jobb hím béka mellett, amely néma volt. Jobb hím béka kiabált egy csendes bal hím béka mellett. Vagy volt egy korgó hím béka, párosítva egyetlen nőstény békával mindkét irányban. Ahhoz, hogy ezt megértsük intuitív módon, a két hím béka kétszer nagyobb valószínűséggel horgol, mint az egyedülálló hím béka, amely párosul egy nősténnyel, ezért megfelelően súlyoznunk kell.

Megoszthatja a keresési helyet is béka (C) és nem kiabáló béka (N). Mivel a kiabáló béka 100% -ban hím, kiküszöbölheti a keresésből, mivel esélye sincs a túlélésre. Míg a szerző “monty hall-problémát” kívánt létrehozni, önkéntelenül létrehoztak egy “fiú vagy lány paradoxont”.

A következő kérdések különböző eredményeket hoznak:

Tekintettel arra, hogy van hím, mekkora a valószínűsége annak, hogy a másik nő nő?

Tekintettel arra, hogy egy férfi béka valószínű, hogy a másik nő?

A második esetben több információt tudok

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Világosabb válasz erre, mivel az előző túl hosszú volt és nem volt könnyen érthető.

A lehetséges eredmények eltérőek, bár ugyanazokat a betűket használtam. A mintaterület tisztázása érdekében leírom a lehetséges eredményeket

MM -> “A férfi a bal oldalon van “-” Véletlenszerű férfi a jobb oldalon “

MF -> “A hím a bal oldalon van” – “Egy véletlenszerű nő a jobb oldalon”

MM – -> “A hím a jobb oldalon van” – “A véletlenszerű férfi a bal oldalon”

MF -> “A hím a jobb oldalon van” – “A véletlenszerű nő a bal oldalon”

Hozzászólások

• Ön kétszeresen számolja az MM-t ügy. ‘ nem csak felsorolhatja az összes lehetséges forgatókönyvet anélkül, hogy figyelembe venné, hogy ‘ ugyanazon forgatókönyvre érkezik-e különböző utakon.

A problémám ezzel a problémával az, hogy a megoldás úgy tűnik, hogy különböző szabályokat használ arra, amire lehetséges eredményt mérlegel a két béka hím és nőstény, valamint hím és hím esetében.

Az F / M és az M / F párok különböznek egymástól, mert nem tudjuk, hogy az első béka vagy a második béka hím, tehát az F / M és az M / F két külön lehetőség, annak ellenére, hogy az eredmény mégis “egy nőstény béka, egy hím béka”.

De az M / M a pár csak egy lehetséges eredménynek számít, annak ellenére, hogy ugyanaz a logika érvényes: nem tudjuk, melyik béka hallatszott a korgó hangról, így bármelyik béka lehet az, akit hallottunk, és a másik még mindig hím lehet , csak nem véletlenül károg.

Commen ts

• Ez inkább egy megjegyzés természetéből fakad, mint a válasz a ” találós kérdésre. ” Kérjük, változtassa meg megjegyzésként, és törölje ezt a ” választ. ”
• @DJohnson Valójában ez a rejtvényre adott válasz, bár a tomciopp későbbi válasza világosabban megmagyarázza.

Nem tud semmit: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Három pár, a négy lehetséges kombináció közül legalább egy nővel: $ 3/4 $ vagy $ 75 \% $

Az első ismerete férfi: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Egy pár, a két lehetséges kombináció közül legalább egy nővel: $ 1/2 $ vagy $ 50 \% $

Tudva, hogy van legalább egy férfi: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Két pár, a három lehetséges kombinációból legalább egy nővel: $ 2/3 $ vagy $ 67 \% $

Mielőtt bármi károgást hallanánk, 4 ugyanolyan valószínű eredmény adható 2 békának:

1. béka férfi, 2. béka férfi

1. béka nő, 2. béka férfi

1. béka férfi, 2. béka nő

1. béka nő, 2. béka nő

Feltételezéseket feltételezve a férfiak és nők egyenlő és független előfordulásáról, mintaterületünk {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, és minden elemnél 1/4 valószínűséggel rendelkezünk.

Miután meghalljuk a krokodást ebből a párból, tudjuk, hogy legalább egy béka hím. Ez a hím ugyanolyan valószínűséggel lehet 1. béka vagy 2. béka. Tehát 2 ugyanolyan valószínű kimenetel van a béka 1 esetében:

Az 1. béka hím

Az 1. béka véletlenszerű béka

Feltételezve, hogy a férfiak és a nők egyenlően és egymástól függetlenül fordulnak elő, a Véletlen Béka valószínűleg véletlenszerű vagy véletlen nő.

P (Az 1. béka véletlenszerű férfi, ha az 1. béka az Véletlen béka) = P (1. béka véletlen nő, az 1. béka véletlenszerű béka) = 1/2

P (1. béka véletlenszerű férfi és 1. béka véletlenszerű béka) = P (1. béka véletlenszerű) Béka) P (1. béka véletlenszerű férfi, az 1. béka véletlenszerű béka) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (1. béka Véletlen nő és az 1. béka véletlenszerű béka) = P (1. béka véletlenszerű béka) P (1. béka véletlenszerű nő, az 1. béka véletlenszerű béka) = (1/2) (1/2) = 1/4

Tehát 3 lehetséges eredmény létezik a Béka 1 esetében:

Az 1. béka férfi

Az 1. béka véletlenszerű férfi

Béka 1 véletlenszerű nő

és a valószínűségek:

P (1. béka férfi) = 1/2

P (1. béka véletlenszerű férfi) ) = 1/4

P (1. béka véletlenszerű nő) = 1/4

Most az 1. béka minden lehetséges kimeneteléhez két lehetséges eredmény áll rendelkezésre a Frog 2 esetében:

2. béka hím

A 2. béka véletlenszerű béka

Az 1. béka minden lehetséges kimeneteléhez a véletlenszerű béka egyformán valószínű, hogy véletlenszerű vagy véletlenszerű nő.

Tehát az 1. béka minden lehetséges eredményéhez 3 lehetséges eredmény áll rendelkezésre a Frog 2 esetében:

A 2. béka hím

A 2. béka véletlenszerű férfi

A béka 2 véletlenszerű nő

P (a 2. béka hím, az 1. béka férfi) = 0

P (a 2. béka hím, az 1. béka véletlenszerű férfi) = 1

P (A béka 2 hím, az 1. béka véletlenszerű nő) = 1

P (A béka 2 véletlenszerű férfi, ha az 1. béka hímivarú) = 1/2

P (A béka 2 véletlenszerű férfi, adott béka 1 véletlenszerű férfi) = 0

P (a béka 2 véletlenszerű férfi, ha az 1. béka véletlenszerű nő) = 0

P (A béka 2 véletlenszerű nő, az 1. béka férfi) = 1/2

P (a 2. béka véletlenszerű nő, az 1. béka véletlenszerű férfi) = 0

P (béka 2 a véletlenszerű nő, az 1. béka a véletlenszerű Fe férfi) = 0

P (2. béka véletlenszerű férfi és 1. béka férfi) = P (1. béka férfi) P (2. béka véletlenszerű férfi, adott 1. béka férfi) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (2. béka véletlen nő és 1. béka férfi) = P (1. béka férfi) P ( A 2. béka véletlenszerű nő, az 1. béka férfi) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (2. béka férfi és 1. béka véletlenszerű férfi) = P (1. béka véletlenszerű férfi) * P (2. béka hím, 1. béka véletlenszerű férfi) = (1/4) * 1 = 1/4

P (2. béka hím és béka 1 véletlen nő) = P (1. béka véletlen nő) * P (2. béka férfi, adott béka 1 véletlen nő) = (1/4) * 1 = 1/4

Tehát, a mintaterület {(Férfi, Véletlen Férfi), (Férfi, Véletlen Nő), (Véletlen Férfi, Férfi), (Véletlen Nő, Férfi)}, és minden elemhez 1/4 a valószínűség.

P (F legalább 1 M esetén) = P (F és legalább 1 férfi) / P (legalább 1 M) = P (1 M és 1 F) / P (1 M vagy 2 M) = P [( Férfi, véletlenszerű nő), (véletlenszerű nő, férfi)] / P [(férfi, véletlenszerű férfi), (férfi, véletlenszerű nő), (véletlenszerű férfi, férfi), (véletlenszerű nő, férfi)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Megjegyzések

• Másoltad és beillesztetted a válaszomat, és eltávolítottad a formázást?
• Nos, először is más részének másolása és beillesztése ‘ s válasz anélkül, hogy megemlítené azt, elfogadhatatlan. Ezt félretéve, ha úgy gondolja, hogy más eredményt ért el, van-e tömörebb módja annak, hogy elmagyarázza? Nagyon sok független egyenletet írtál magyarázat nélkül.
• Ez ‘ nem irodalom, de mégis durva. Ami a válaszodat illeti az enyémmel kapcsolatban: értelmetlennek tartom a tiedet. Mit jelent az eredmény ” A 2. béka véletlenszerű béka “?
• Az Ön válasza volt az egyetlen feltételes valószínűségek kiszámítása. Ugyanazon kifejezések használata segíthet összehasonlítani és megnézni, hogy melyik rész azonos és melyik más. Mondhatom, más válaszokat is értelmetlennek találok, de nem mondtam, mert durva lenne;). Ha nem érted a sth-t, akkor kérjen magyarázatot. A ” béka véletlenszerű béka ” azt jelenti, hogy nem a hím béka ismert, hogy párban van ….
• A véletlenszerűségnek két forrása van, az egyik a hím békából származik, amelyről ismert, hogy párban van, a másik a békapopulációból származik. Mivel tudjuk, hogy a hím béka ott van, a bizonytalanság csak a helyzetet érinti. Béka 1 vagy béka 2? Vagy bal vagy jobb oldalon van? Azt tanácsolom, hogy a fa diagram segítségével készítsen mintaterületet a semmiből, és használja fel az összes rendelkezésre álló információt