Mi a két csupasz csont egyszerű leírása a két elektron közötti csereakcióról?
Például számomra úgy tűnik, hogy az egyetlen szükséges összetevők a Coulomb-kölcsönhatás és az a követelmény, hogy a teljes hullámfüggvény antiszimmetrikus legyen.
Megjegyzések
- Érzelme helyes. Az Ashcroft & Mermin (32. fejezet) matematikai leírása arról, hogy ez a két összetevő milyen kölcsönös kölcsönhatások létrehozására törekszik [ez egy elég szokásos számítás, és I ' győződjön meg róla, hogy sok más helyen is megjelenik]
- Ez szerepel a Griffiths intro kvantum tankönyvében is. Valahol.
- Ennek semmi köze a Coulomb-erőhöz, két töltés nélküli, de megkülönböztethetetlen bozon között is kölcsönhatás lépne fel.
Válasz
Az Exchange interakció kiegészítést jelent az azonos részecskék közötti egyéb interakciókhoz, amelyeket a permutációs szimmetria okoz.
Ez az összeadás a több részecske sajátos formájának eredménye hullámfüggvény. A “szokásos” interakcióktól eltérően nem járul hozzá a Hamilton-féle kölcsönhatásokhoz, de kiegészítő kifejezésként jelenik meg az egyetlen részecske hullámfüggvények egyenleteiben (pl. Hartree-Fock egyenlet).
Az interakció általában társul energiával és erőkkel. Megtalálhatnánk a cserekorrekciót a Coulomb-erőkhöz hozzáadott erőként, de először meg kell értenünk, hogy mi az erő a kvantumrendszerben.
Vegyünk két két egyszemcsés koordináta-hullámfüggvényű fermiont $ \ psi_a ( x) $ és $ \ psi_b (x) $, valamint a $ \ phi_a (s) $ és $ \ phi_b (s) $ centrifugálási hullámok. A lehetséges két részecskés hullámfukciók szingulettek, szimmetrikus koordinátarésszel $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} balra [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ jobbra] $$ és triplett antiszimmetrikus koordinátával rész $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ bal [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ jobb] $$
Hagyja, hogy a kétrészes Hamiltonian nem függ a pörgetéstől: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$, akkor a kölcsönhatás átlagos energiája a következő lesz: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ jobb | V \ bal | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ jobb | V \ bal | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
A $ U_ \ text {ex} $ kifejezés csak akkor nulla, ha a részecskék elég közel vannak egymáshoz, és hullámfüggvényeik átfedik egymást (lásd az alábbi képet). Klasszikus határértéknél, amikor a $ L $ távolság nagy, az átfedés nulla, és $ U_S = U_A = U $
A részecskék közötti kölcsönhatás ereje az L paraméternek megfelelő általánosított erőként definiálható: $$ F = – \ frac {\ részleges U} {\ részleges L} $ $ a $ \ psi_a -ra vonatkozó feltételezéseink között $, $ \ psi_b $ és $ V $, mind a $ U $, mind a $ U_ \ text {ex} $ deriváltja negatív. Ezért a “szokásos” erő pozitív (taszítás), és a csereerő pozitív a szimmetrikus koordinátáknál tate és negatív az antiszimmetrikus koordinátaállapotnál (vonzerő).
Tehát a csereakció két eset esetén a részecskék a spin konfigurációjától függően további erőnek tekinthetők. Több részecske esetében ez bonyolultabb.
Megjegyzések
- Szia, hogyan lehet megérteni a csere-kölcsönhatás tényleges erejét a Fermion számára? Nagyon ellentmondásos.