Egy könyvben azt mondja, hogy a Fock-teret az összes $ n $ -test Hilbert-tér közvetlen összegeként határozzuk meg:
$$ F = H ^ 0 \ bigoplus H ^ 1 \ bigoplus … \ bigoplus H ^ N $$
Ez azt jelenti, hogy csak “összegyűjt” / “hozzáad” mindent az egyes Hilbert-terek állapotai? 2. kvantálást tanulok, ezért adtam ezt a matematika helyett a fizikába.
Megjegyzések
- Kérdezi, hogy mi a " közvetlen összeg " vagy azt kérdezi, mi a fizikai motiváció a közvetlen összeg felvételére?
- hu.wikipedia.org/wiki/Direct_sum , de valószínűleg ezt olvasta, és a wikipédia oldal kissé bizonytalanul néz ki önmagában ….
Válasz
Tegyük fel, hogy van egy rendszere, amelyet egy Hilbert szóköz írja le: $ H $ például egy részecske. A $ H $ által leírt két, egymással nem kölcsönhatásban lévő részecske Hilbert-területe egyszerűen a tenzor szorzat
$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$
Általánosabban: $ N $ részecskék, mint fent, a Hilbert tér
$ H ^ 0 $ -val, amely $ \ mathbb C $ (azaz a $ H $ ) mögött álló mező.
A QFT-ben vannak olyan operátorok, amelyek összefonódnak a különböző $ H ^ N $ s, vagyis részecskéket hoz létre és megsemmisít. Tipikus példák a $ a ^ * $ és a $ a $ létrehozási és megsemmisítési operátorok. Ahelyett, hogy az egyes $ H ^ N $ és $ H ^ M $ , az egyik megadhat egy " átfogó " definíciót a nagyobb Hilbert téren, az összes multi közvetlen összegének felvételével. részecske szóközök, azaz.
$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$
a $ H $ Fock Hilbert szóközként ismert és néha $ e ^ H $ .
Fizikai szempontból a Fock space fenti általános meghatározása lényegtelen. Azonos részecskékről ismert (para) statisztikák figyelhetők meg, amelyek csökkentik a tényleges Hilbert-teret (szimmetrizációval / antiszimmetrizációval a bozonikus / fermionos esetre stb.).
Megjegyzések
- Kiváló válasz! Szeretném, ha így írnák a QFT tankönyveket.
Válasz
Remek válaszok, de a teljesség kedvéért talán ez is szemléletes lesz, ha van egy példa.
Tegyük fel, hogy a $ H ^ 1 $ tartalmaz egyszemélyes állapotokat $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ stb. A Fock szóköz eltávolítja a korlátozást egyetlen részecske lévén és $ H ^ 0 $ (ami 1 dimenziós), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ stb. megengedi az olyan állapotokat, mint
- a vákuumállapot, nevezzük “üres ket” $ | \ rangle $ -nak,
- minden egyes részecske állapotot, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
- mind a két részecske állapot, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB, hogy ez a konstrukció megkülönböztethetőnek tartja őket),
de ami a legfontosabb
- a fentiek bármilyen szuperpozíciója , például $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ bal (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ jobbra) $.
Ez a tér eredendően végtelen dimenziós, még akkor is, ha valami aprósággal indul, például egy qubit. Ha egy eredmény alapján el akarja képzelni az eredményt, egyszerűen összefűzze az összes komponens alapállapotait:
$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$
A a legtriviálisabb beállításnak megfelelően az egy részecskének valójában nincs különálló állapota, ezért a $ H ^ 1 $ egydimenziós. Még mindig van értelme kiválasztani a $ | {} \ circ {} \ rangle \ H ^ 1 $ hűbéri állapotot, és a Fock helyet megalkotni alapon
$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$
egy állam példája lehet mondjuk egy koherens állapot
$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$
és van egy szép példája arra, hogy az emberek miért beszélhetnek gerjesztésről, mint “fononok” egy harmonikus oszcillátorban, annak ellenére, hogy csak egyetlen részecske oszcillál!
Válasz
Igen, igen. Ha tetszik, egy “nagy” Hilbert-teret épít a “kicsiből”.