A gamma-eloszlás várható értéke

Feltételezve, hogy a gamma-eloszlás véletlen változójára vonatkozik a $ \ alpha > 0 $ formájú és a $ \ beta > 0 $ paraméterek, azaz $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, a $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ a következő módon található:

Bármely folytonos eloszlású X véletlen változó esetén (például Gamma), amelynek $ f $ a valószínűségi sűrűségfüggvényét jelöli (példádban $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) és ennek a változónak a $ g $ függvényére (az Ön esetére $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), a következőt tartalmazza: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ korlátozza _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

Példádban nagyon leegyszerűsít (figyelj a $ -3 $ -ra): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ A tört nem függ $ x $ -tól , így integrálon kívülre helyezhető.

Egyébként a diszkrét eloszláshoz nagyon hasonló: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {ahol} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {az X támogatását jelöli (szükséges értékkészlet)} $$

---

Nem tartok tovább feszültségben. Először is emlékeztessen arra, hogy $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Legyen $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. E két eredmény ötvözése egyenes megfigyelésben: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ egymás után: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Ezzel kétszer használva megkapja az eredményt :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Végül (mivel $ f _ {\ alpha-2} (x) $ szintén PDF, amely integrálja megegyezik $ 1 $ -val): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Ez a fenti megoldás erre a konkrét esetre vonatkozik, de mint whuber rámutatott , általánosabb eset minden valós és pozitív $ p \ in \ mathbb {R} esetén, ~ p > 0 $ benne van: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Megjegyzések

• @TJ Phu Tájékoztassa velünk, mi az, amivel valóban problémája van, esetleg ennek az integrálnak a kiszámításával? Mindenesetre tudassa velünk. Próbáljon azonban követni gung és Silverfish megjegyzéseket, és javítsa a kérdés általános elrendezését.
• @TJ Phu Talán az első megjegyzésem a nyers tevékenységről az integráció kissé félrevezető volt. Mondja meg, hogy teljesen megértette-e a megoldásomat (egyszerűen azáltal, hogy elfogadja / bejelöli a válaszomat vagy a whuber válaszomat).

Lusta módon járnék rá: úgy, hogy egy definícióval indulok és alaposan megvizsgálom, mi következik, hogy hátha valaki megmutatta már nekem a választ. A következőkben egyáltalán nincs szükség számításokra, és csak a legegyszerűbb (a kitevők és az integrálok) szabályokra van szükség az algebra követéséhez.

---

Kezdjük a Gamma eloszlással.Válasszon egy $ X $ mértékegységet, amelyben $ \ beta = 1 $ , hogy tisztességesen mondjuk, hogy a $ X $ $ \ Gamma (\ alpha) $ elosztással rendelkezik. Ez azt jelenti, hogy a sűrűség csak pozitív értékeknél pozitív, ahol a valószínűségi sűrűség elemet a következő adja meg:

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Ha kíváncsi vagy, a $ dx / x $ kifejezést a https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Ha nem tetszik, cserélje le a $ x ^ \ alpha dx / x $ szót $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Emlékezzünk vissza, hogy a normalizálási állandó a $ f_ \ alpha (x) dx integráljának elkészítéséhez szükséges. $ egység, honnan következtethetünk erre

$$ \ begin {aligned} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alfa) (1) = \ Gamma (\ alfa) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alfa (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alfa)} {\ Gamma (\ alfa )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {aligned} \ tag {1} $$

Nem számít, hogy milyen szám $ \ Gamma (\ alpha) A $ valójában az. Elég látni, hogy jól definiált és véges $ \ alpha \ gt 0 $ , és egyébként eltér.

Most térjünk át az elvárásokra vonatkozó szabályokra. A tudattalan statisztikus ” törvénye ” elmondja a $ X $ bármely funkciójának elvárását , például $ X ^ p $ valamilyen power $ p $ esetén (ami általában pozitív, de negatív és akár összetett is lehet), a $ x $ függvénynek a sűrűséggel való integrálásával kapjuk meg.

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

---

Ideje bámulni. Az integrál figyelmen kívül hagyásával az integrand elég egyszerű kifejezés. Írjuk át az algebra szabályainak felhasználásával, és közben mozgassuk a $ 1 / \ konstans értékét Gamma (\ alpha) $ az integrálból:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Ennek nagyon ismerősnek kell kinéznie: it ” s ugyanúgy, mint egy másik Gamma eloszlási sűrűségfüggvény, de a $ p + \ alpha $ erővel a $ \ alpha $ . A (z) $ (1) $ egyenlet azonnal megmondja nekünk, további gondolkodás és számítás nélkül, hogy

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Ezt bedugva a $ (2) $ jobb oldalába

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Úgy tűnik, jobb lett volna (a valós része) $ p + \ alpha \ gt 0 $ annak összefonódása érdekében, amint azt korábban említettük.

---

Kettős ellenőrzésként, , képletünkkel kiszámíthatjuk az első pillanatokat, és összehasonlíthatjuk őket mondjuk azzal, ami A Wikipédia szerint . Az átlaghoz megkapjuk

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

és a második (nyers) pillanatra

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

Következésképpen a variancia $$ E \ bal (X ^ 2 \ jobb) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Ezek az eredmények tökéletesen egyeznek a hatósággal. Nincsenek konvergenciaproblémák, mivel mivel $ \ alpha \ gt 0 $ , mindkettő $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ és $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

---

Most már biztonságosan bekapcsolhatja a $ p = -2 $ és vonja le következtetéseit az eredeti kérdésről. Ne felejtse el ellenőrizni a válasz fennállásának feltételeit.És ne felejtse el megváltoztatni a $ X $ mértékegységeit az eredetire: ez megsokszorozza válaszát a $ \ beta ^ p $ (vagy $ \ beta ^ {- p} $ , attól függően, hogy mit gondol $ \ beta $ egy skála vagy egy arány ).